Molécule d'ammoniac

Bonjour à tous,

J’ai un exercice sur la molécule d’ammoniac NH₃. On nous dit que le potentiel peut-être approché par le schéma ci-dessous:

Je suppose que le double puit vient du fait que l’azote a ce fameux effet parapluie.

Je dois dessiner la fonction d’onde du niveau d’énergie le plus bas en justifiant. Déjà là, je bloque. Je dirais que une sinusoïde ayant un un minimum dans la partie A, un maximum au milieu de B et un minimum au milieu de C (se référer au schéma ci-dessous). Je suis pas du tout sûr (jamais eu de molécule aussi complexe en quantique et ça me perturbe ).

Puis, je dois résoudre analytique le problème. Je suppose qu’il suffit de décomposer le problème en trois régions A, B et C (ou dois-je aussi prendre l’extérieur de la "boîte" ?) Il s’agit simplement de l’équation de Schrödinger indépendante du temps: $ - \frac{{{\hbar ^2}}}{{2\mu }}\frac{{{d^2}\psi (x)}}{{d{x^2}}} + U(x)\psi (x) = E\psi (x)$ avec $U(x)$ nul en A et C et de valeur de la hauteur de la barrière et B. Après, on résous en faisant attention aux conditions de bords et on trouvera - je suppose - des fonctions sinusoïdales et exponentielles.

Ensuite, il me demande de donner la méthode pour résoudre avec une perturbation ce problème. Quelle perturbation vous pensez (il précise rien mais il faut bien un champ magnétique ou électrique pour qu’il y ait perturbation ?) ? Expliquer comment on ferait avec le principe variationnel en choisissant une bonne fonction de départ (trial function) et dire quelle méthode devrait être plus efficace. Je suppose qu’on peut choisir une combinaison linéaire de 2 ou 3 cosinus/sinus

Par curiosité, est-ce qu’on aurait de l’effet tunnel ici ? Il précise pas si à l’extérieur les potentiels sont infinis.

Merci d’avance!

Personne ne sait m’aider là-dessus ?

Ben je m’attendais à ce qu’un physicien réponde, en fait. Malgré que c’est de la chimie quantique, c’est un problème somme toute très physique, avec un potentiel, une particule et ainsi de suite. D’ailleurs, ça doit se résoudre à peu de chose près comme l’électron dans la boite. Du coup, la première partie me semble juste, c’est pour moi la bonne manière de faire. Tu pourrais, en complexifiant la chose, chercher à décrire ton potentiel de manière plus précise en utilisant une série de fourrier, mais je crois pas que ça soit le but ici.

Pour la suite, la méthode des perturbations marche pour un peu n’importe quoi, pas seulement un champ électrique ou magnétique, mais aussi par rapport à une déformation géométrique, par exemple. On manque un peu d’info sur l’axe $x$ de ton graphe, mais la perturbation me semble être lié à celui-ci. Ici, et vu que juste après on te demande de comparer avec la théorie variationnelle, la théorie des perturbations devrait te permettre de passer de ton potentiel approximé en forme de sinusoïde à un potentiel décrivant plus exactement ton puit, ou un truc du genre.

Par curiosité, est-ce qu’on aurait de l’effet tunnel ici ? Il précise pas si à l’extérieur les potentiels sont infinis.

Disons qu’ils le sont, parce que sinon, t’es pas rendu. Par contre, avec cette zone centrale, on peut soupçonner un possible effet tunnel.

Merci beaucoup Pierre !

En y réfléchissant pas mal, je me suis dis que j’avais déjà tord pour la fonction d’onde du niveau d’énergie le plus bas. On aurait pas plutôt un fonction d’onde qui diminue en intensité à cause de la barrière de potentiel ? (d’un côté ou de l’autre vu que c’est symétrique).

chercher à décrire ton potentiel de manière plus précise en utilisant une série de fourrier, mais je crois pas que ça soit le but ici.

Pourquoi on irait décrire ça avec un série de Fourier si on connait l’expression exacte du potentiel?

Quant à la méthode variationnelle, t’aurais une idée de fonction de départ (trial function) qu’on pourrait utiliser pour aboutir à un bon résultat ? Je suppose que si ma fonction de départ à très proche de la forme du potentiel, la méthode variationnelle sera meilleure que la théorie des pérturbations et si c’est pas si le cas ça sera le contraire ?

Merci !

Pas d’idées ? Ou alors ma première fonction d’onde était correcte avant (si c’est la cas j’aimerais savoir "pourquoi" pour bien justifier)?

Merci!

Petit update pour les curieux. Après quelques recherches je suis tombé sur ça. Ca pourrait potentiellement en aider certains plus tard!

Effectivement, je pense que je dois faire cette considération et en disant que la perturbation est très faible pour pouvoir écrire $\hat H = {{\hat H}^{(0)}} + \lambda \hat H'$ et puis calculer la correction de l’énergie au premier ordre.

T’as fais le calcul pour voir que ça donne des résultats potables que pour des énergies plus grandes que $U_0$ ou simple intuition?

J’ai pas fais le calcul mais il est assez simple.

Ta correction d’énergie au premier ordre pour l’état fondamentale $|\psi_0\rangle $ est

Et $\psi_0(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \cos(\frac{\pi}{L}x)$ ( d’energie $E_0= \frac{\pi^2 \hbar^2 }{2mL^2}$ )

Donc

Donc typiquement pour $b=\frac{L}{2}$ on a $\Delta E_0 = \lambda U_0(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi})$

Apres on peu comparer à la valeur theorie est donnée par un truc du genre $\sqrt{\frac{E}{V-E} } = \tan(A)$

Mais pour aller plus loin il faut des valeurs de $L$, de $b$ de $U_0$ et une masse !