Calcul de volume entre une droite et une courbe

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Bonjour,

J’ai un problème avec le calcul d’une aire. Voici l’énoncé:

enonce

Et le travail que j’ai effectué:

(je me suis trompé dans le texte au début ".. distance entre la droite et la courbe.."

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scan1
scan2

Je pense que je définis mal le rayon du cercle et c’est pour ça que mon résultat est erroné. Aussi, dans j’ai inutilement posé y = t dans mon intégrale… Je sais dans la correction qu’on devrait trouver du $\ln^3{2}$, et clairement mon résultat n’en contient pas.

Merci beaucoup.

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Bonjour Unknown,

Attention, tu calcules les aires des disques comme si ils étaient normaux a $(Oy)$, alors qu’ils sont normaux à $(Ox)$! En considérant ton cercle a $x$ fixé, ie a $t$ fixé tel que $x = ln(1+t)$, dans le plan $(Oyz)$ qui passe par $x$. Le point de la droite dans ce plan est $(ln(1+t), ln(1+t), ln(1+t))$ et le point de l’arc est $(ln(1+t), t, -t)$. A partir de la tu obtiens le rayon et en intégrant il y a bien du $ln^3(2)$, je crois.

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Merci pour ta réponse ! Je vois le problème.

Alors j’ai essayé de recalculer avec ton aide, mais est-tu d’accord qu’on trouve bien pour le rayon:

$ r(t) = \sqrt{2t^2 + 2ln^2(t+1)} $

Parce que avec ça comme rayon, je n’obtiens pas de $\ln^3{t+1}$.

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Banni

C’est bien ça l’aire des disques, mais comment es-tu passé du volume à calculer à $\int_0^1 \pi r(t)^2 \mathrm{d}t$ (expression dépendant de $t$) ? Et ensuite tu intègres selon $y$ alors que tu venais de dire selon $t$. (je crois que tu as écris $t$ au lieu de $1$).

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On doit calculer l’aire pour $t$ qui varie entre 0 et 1. Le rayon d’un disque est donné par r(t). Le disque se calcule par $A = \pi * r^2{(t)}$ non ?

Je sais que j’ai fait quelque chose d’inutile, mais c’était la 3ème fois que je refaisais entièrement l’exercice et donc je voulais essayer de procéder différemment. Mais en fait ça revient au même (y = t).

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Banni

Tu as la bonne aire pour le disque, mais tu ne dois pas intégrer de $0$ à $1$ la fonction $\pi r(t)^2$. Comme le dit Oramy on a l’impression que tu considères que tes disques sont dans des plans perpendiculaires à $(Oy)$ au lieu de $(Ox)$.

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Quand tu intègres les aires $\pi*r^2$ de chaque disque, il faut le faire par rapport à $x$ et pas à $t$. C’est bien ce que tu fait ?

Tu devrais obtenir $V=\pi\int_0^1 \frac{2t^2+2ln(1+t)^2}{1+t}dt$ après changement de variable.

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Salut. Désolé pour le délai j’ai beaucoup travaillé sur d’autres sujets. Vos réponses sont nickels ! elles m’ont vraiment aidé à voir mon problème sans que vous me donniez la réponse.

PS: Oramy c’est la première fois que je te vois poster, tu devrais continuer à aider ! :)

Je viens de le refaire à l’instant, je trouve donc

$$ \pi [(2/3)\ln^3(1 + t) + 2\ln(1 + t) + t^2 - 2t] \bigg\vert_{0}^{1} $$

ce qui est la réponse !

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