Symétrie dans une intégrale triple

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Salut ! Les exams approchant à grand pas, je me suis replongé dans les intégrales multiples … et je suis tombé sur ça :

Soit B la boule unitaire dans $R^3$ et $\langle .,. \rangle$ dénote le produit scalaire. Pour tout vecteur p dans R^3 calculer :

$$ f(\mathbf p) = \iiint_B (1+ \langle \mathbf p , \mathbf x \rangle)^3 d \mathbf x$$

Avec une transformation orthogonale et des coordonnées sphériques je suis arrivé à la solution :

$$ f(\mathbf p) = \dfrac{4\pi}{3} + \dfrac{4\pi ||\mathbf p||^2}{5} $$

Sauf qu’en regardant le corrigé je vois qu’ils font ça en une ligne (évidemment :) ) :

Plus élégant encore par symétrie des coordonnées :

$$f(\mathbf p) = \iiint_B 1+ 3\langle \mathbf p , \mathbf x \rangle^2 d \mathbf x = \iiint_B 1+ |p|^2|x|^2 d \mathbf x$$

Et on trouve le résultat recherché.

le corrigé

Pour la première étape je crois avoir compris : c’est à cause du fait que l’intervalle est pair et que le produit scalaire est impair, donc il ne reste que ses puissances paires.

Mais comment il passe passe de la deuxième à la troisième étape ? Ca ne marche que si p et x sont colinéaires non ? du coup comment il peut le faire alors qu’on intègre sur toute une boule, donc des vecteurs pas tous colinéaires ?

Merci ;)

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Banni

Je ne comprends pas non plus la correction : il y a continuité et comme $\langle p,x \rangle^2 < |p|^2 |x|^2$ pour au moins un $x$ (presque tous même, quand ils ne sont pas colinéaires comme tu dis), on est censé avoir la première intégrale strictement inférieure à la deuxième.
D’autre part, dans le résultat je pense que c’est $4/15$ au lieu de $4/5$. (edit : on trouve $4/5$ pour la deuxième intégrale mais pour la première c’est $4/15$, il n’y a pas égalité)

edit Tu as oublié un facteur devant le $\langle p, x \rangle^2$.

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Effectivement il manquait un 3 à cause des coefficients binomiaux dans le développement de $(a+b)^3$ … j’ai édité ça.

Du coup ça doit sûrement aider pour la suite comme on a trois coordonnées mais ça reste toujours pas clair.

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Banni

Du coup ça doit sûrement aider pour la suite comme on a trois coordonnées

C’est effectivement lié. Il faut commencer par simplifier le problème. Vois-tu comment éliminer le $p$ et le $1$ du problème ? Ensuite il faut utiliser ton intuition et essayer de lier ce facteur $3$ avec le nombre de coordonnées.

Je trouve aussi que la correction va trop vite et ne donne pas tous les éléments.

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Ok en fait je crois que j’ai compris : il suffit de une transformation orthogonale pour chacun des $\langle p, x \rangle^2$, telle que dans la première on oriente $e_1$ selon $p$, dans la deuxième $e_2$, et ainsi de suite :

$$ 3\iiint_B \langle p, x \rangle^2 dx = \iiint_B ||p||^2x_1^2 dx + \iiint_B ||p||^2x_2^2 dx + \iiint_B ||p||^2x_3^2 dx = \iiint_B ||p||^2||x||^2 dx $$

Je crois avoir compris du coup. Merci :)

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