Dérivation par rapport à une grandeur dérivée

Physique analytique

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour à tous !

Je suis un amateur de physique (j’en ai fait en prépa avant de partir vers des maths et de l’info) mais je voudrais m’y remettre. J’ai toujours bien aimé la méca, et un ami m’a parlé de la méca analytique, et j’ai décider de me mettre à lire un cours. J’ai trouvé celui ci : ici, qui me semble être de mon niveau.

J’ai un soucis à propos d’une équation qui s’y trouve (j’en suis au début) et je me souviens que c’était un problème qui revenait régulièrement en physique en classe prépa quand je travaillais (j’étais déjà tombé sur des trucs comme ça en thermodynamique notamment).

On a $\vec{r} = \vec{r}(q_1, q_2, \ldots, q_n, t)$, avec $n$ le nombre de degrés de liberté du système, $t$ le temps. Si j’ai bien tout compris, les $q_i$ dépendent du temps. Le cours, en page 4, me donne une expression pour $\frac{\partial \vec{v}}{\partial \dot{q_i}}$. Cette expression est obtenue en "dérivant" par rapport à une "variable" $\dot{q_i}$ une expression qui dépend de $q_i$ comme si elle était une constante. En substance on a :

$$ \vec{v} = \sum_k \frac{\partial \vec{r}}{\partial {q_k}}\dot{q_k}+\text{quelque chose constant par rapport à }\dot{q_k} $$ et on en déduit en "dérivant par rapport à $\dot{q_i}$": $$ \frac{\partial \vec{v}}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial {q_i}} $$

Moi je veux bien, mais je ne vois vraiment pas déjà ce a quoi ça correspond de "dériver par rapport à $\dot{q_i}$" mais surtout, en quoi le terme $\frac{\partial \vec{r}}{\partial {q_i}}$ est invariant par $\dot{q_i}$ !

Par exemple, si $q_i(t) = A \cdot e^{t/\tau}$ avec $A$ dimensionée, on a $q_i=\dot{q_i}\tau$ du coup une expression qui dépend de $q_i$ dépend carrément de $\dot{q_i}$, non ?

Si l’un de vous pouvais m’expliquer ou me donner des liens vers des ressources pour le comprendre, je lui en serait très reconnaissant. Je peux clairement passer cette question sous silence pour continuer le cours, mais quand même ça me parait vraiment étrange.

Merci d’avance ! :)

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Salut,

Je pense que l’astuce consiste à faire $\frac{\partial q}{\partial t} = \dot{q}$. De fait, tu retrouves bien l’expression de $v$.

Ensuite, $q$ est une variable, $\frac{\partial q}{\partial t}$ aussi, aucun problème pour dériver. Dans l’idée, c’est comme faire la dérivée d’une grandeur par rapport à la vitesse, qui est elle-même une dérivée.

Pour le $\frac{\partial v}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial r}{\partial q}$, on peut faire $\frac{\partial v}{\partial \dot{q}} = \frac{\frac{\partial r}{\partial t}}{\frac{\partial q}{\partial t}} = \frac{\partial r}{\partial q}$. C’est peut-être un peu rapide, mais l’idée est là.

Le terme en $\frac{\partial r}{\partial q}$ n’est pas invariant pas $\dot{q}$, puisque si on le dérive par rapport à $\dot{q}$, on retrouve $\frac{\partial^2 v}{\partial \dot{q}^2}$, ou alors j’ai mal compris la question.

Après, ce genre de chose doit prendre plus de sens par la suite. La mécanique analytique n’est pas la plus facile des matières, loin de là.

Bonne chance. :)

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Hello ! Merci de prendre le temps de me répondre !

Je pense que j’ai pas été clair dans ma question, toutes mes excuses. Je sais que $\dot{q_k}$ est la dérivée temporelle de $q_k$, mais je ne voit pas en quoi c’est une variable indépendante de $q_k$, et en quoi $r$ ne dépend pas d’elle : je ne vois pas pourquoi en dérivant

$$ \sum_k \frac{\partial \vec{r}}{\partial {q_k}}\dot{q_k}+\text{quelque chose constant par rapport à }\dot{q_k} $$

par $\dot{q_i}$ on obtient pas en fait

$$ \sum_k \frac{\partial² \vec{r}}{\partial² q_k \dot{q_i }}\dot{q_k} + \frac{\partial \vec{r}}{\partial {q_i}} $$

Après, je comprend les justifications de pourquoi ça marche bien, juste j’ai du mal à m’en convaincre mathématiquement…

Merci d’avance ! :)

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À priori, c’est ce qu’on devrait obtenir sans hypothèse supplémentaires (qu’on a par la suite si je me souvient bien). À quelle page du document es-tu, que je resitue le truc ?

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Faut faire des phrases pour comprendre :p (dans le sens expliquer a haute voie les équations, ce qu’elles signifient etc. ça permet de faire "tilt" parfois)

$\vec{r}(q_1...q_n,t)$ est la position en fonction des coordonnées généralisé, typiquement ça peut être x,y,z ou x et un angle ou x,y, et un angle ou…

Dans le cas du pendule simple il n’y a qu’une coordonnée généralisé : $q_1=\theta$

du coup $\frac{\partial r}{\partial q_k} $ c’est "comment varie la position (dans l’espace) quand la coordonnée généralisée $q_k$ bouge un peu".

A priori c’est indépendant de la vitesse, non ? En fait il faut bien comprendre que $\vec{r}$ n’est pas une fonction explicite de la vitesse (Ça ne veux pas dire qu’on ne peux pas exprimer la position en fonction de la vitesse hein).

$r$ décrit les contraintes qui vont être appliqué lors de la résolution du problème (par exemple déplacement uniquement sur un cercle pour le pendule rigide de longueur L : $\vec{r}(\theta) = L\cos(\theta) \vec{x} + L\sin(\theta) \vec{y}$ ), mais ne contient pas les informations dynamique. La dynamique sera contenu dans la paramétrisation des $q_k$ en fonction du temps.

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Hello !

Je pense avoir mieux compris les histoires de paramétrisations, et de dépendances des variables : j’essayais de coller un raisonnement sur la dynamique à quelque chose de juste descriptif du système.

Merci à tou-te-s!

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