Extrapolation de point

Salut,

Je cherches un peu de renseignement pour implémenter une extrapolation de point en C++.
En effet, je dispose d’un nuage de point relevé à partir de capteur et j’aimerai le formaliser sous forme de courbe. Pour cela je les ai groupés par pairs (abscisse, ordonnée) et insérés dans une map pour les trier. Ensuite j’ai relier les points que je possèdais par interpolation linéaire. Dans un premier temps ça convenais mais j’ai maintenant besoin d’aller plus loin, j’ai besoin de point qui sont en dehors de l’intervalle mesurée.
Je pensais donc approcher la forme de la courbe mesurée avec une équation et trouver les coefficients, cependant je ne sais pas comment savoir quelle forme d’équation approche ma courbe.

Voici donc mes questions :
- Y a-t-il des méthodes (mathématiques) pour déduire une forme d’équation à partir de point ?
- Y a-t-il d’autres méthodes pour l’extrapolation ?

Merci d’avance pour les pistes que vous pourriez m’avancer

Merci pour les réponses,

Il doit en effet exister un modèle pour mon phénomène, liant pression et débit, mais j’aurais aimé que ma classe soit générique, qu’elle ne résout pas seulement mon problème :/
C’est vrai que ça a l’air d’être la méthode la plus sensé, je vais peut-être donc trouver ce modèle et me servir des spécialisations de classe pour l’implémenter.

Sinon vous parlez d’interpolation polynomiale, ça ne me semble pas convenir à mon problème d’extrapolation, ou bien il faut m’expliquer comment ça marche
En ce qui concerne les splines, je connaissais pas, je vais me renseigner, j’ai l’impression que ça pourrais convenir si j’arrive à comprendre

Désolé, je me suis mal exprimé apparemment, mon interpolation linéaire se fait entre les points, 2 à 2, pour pouvoir trouver une ordonnée entre 2 points connus, il ne s’agit pas d’une interpolation globale qui me donnerait une droite en modèle.

Pour info, dans mon cas, le modèle est une racine carré.

Très bien, je pensais que je ne connaissais juste pas les outils pour le faire. Merci encore pour vos aides, je pense que je vais partir sur de la spécialisation, dont probablement la spécialisation de lagrange.

Je connais pas la "spécialisation" de Lagrange, mais si tu parles d’interpoler avec des polynômes de Lagrange puis évaluer à l’extérieur, ce sera mauvais (à moins d’un gros coup de bol).

Pour info, dans mon cas, le modèle est une racine carré.

J’imagine que tu veux dire la théorie plutôt que le modèle (la théorie étant la relation entre les observations et le modèle). Si tu as une théorie, inverse-là pour en déduire un modèle qui colle aux observations (donc extrapoler en dehors de ta courbe). C’est la façon propre de faire ce que tu veux. Pas de théorie, pas d’inversion. Pas d’inversion, pas d’extrapolation.

Oui c’était un raccourci pour dire la spécialisation de ma classe qui utilisera l’interpolation de lagrange pour modéliser ma courbe.

Ah ok.

Pas de palais, pas de palais.
oui il s’agit de la théorie. Que veux-tu dire par inversion ? moi je pensais juste calculer les coefficients dans mon système surdéterminé puis faire une moyenne ou un médian ou un moindre carré ou quelque chose comme ça pour trouver des coefficients approchant l’ensemble des points et garder ces coefficients pour trouver mon point extrapolé.

moi je pensais juste calculer les coefficients dans mon système surdéterminé puis faire une moyenne ou un médian ou un moindre carré ou quelque chose comme ça pour trouver des coefficients approchant l’ensemble des points et garder ces coefficients pour trouver mon point extrapolé.

Inversion est juste la façon courte d’exprimer le fait qu’on trouve des coefficients à partir d’observations et d’une théorie (quelque soit la façon dont on se sert pour inverser, que ce soit par moindre carrée, Monte Carlo ou autre). Il y a toute un pan des mathématiques qui s’y intéresse : les méthodes inverses.

+10 Pour Vael (et donc -1 pour quelques autres réponses …)

Ajustement, c’est fit/fitting. Et un des pièges que tu peux être amené à déjouer si tu ne suis pas les conseils de Vael, c’est le piège de l’overfitting.

Petite remarque en passant. Si tu ajustes aux moindres carrés tes données au carré, tu vas minimiser le carré de l’erreur et pas l’erreur… Ce qui peut être gênant en fonction du degré de précision que tu souhaites. Il est préférable d’utiliser une méthode spécifique du type moindres carrés non linéaires.

@Aabu : ah ouai ! J’y avais jamais pensé. Du coup même "problème" quand on ajuste une exponentielle (en utilisant les moindres carrés sur des données au logarithme pour ajuster une droite affine) !

@elegance : j’avais jamais entendu le terme overfitting mais c’est exactement ça.

L’image de wiki est très parlante sur l’utilisation à mauvais escient de l’interpolation :

Ici c’est tellement mal utilisé que c’est même pas possible de s’en servir pour évaluer dans le domaine définis par les points. Et en supposant que le modèle noir est le modèle exact aucune interpolation n’aurait de sens.

En fait, de manière générale, l’interpolation ne sert qu’à relier entre eux de manière plus ou moins complexe des points avec une erreur de mesure négligeable. Toutes les méthodes d’interpolation tombent juste sur les données, par définition.

Dès qu’on a des erreurs de mesure ou des variables non maîtrisées, c’est de l’ajustement (fitting).