Bonsoir, j’ai remarqué une petite chose, mais je ne suis pas sûr de sa véracité :
Prenons par exemple la fonction $f : \mathbf R \to ]0, + \infty[$ définie par $f(x) = e^x$.
Je souhaite montrer qu’elle est surjective :
Soit $y \in ]0, + \infty[$, en prenant $x = \ln(y) \in \mathbf R$, on a $f(x) = e^x = e^{ln(y)} = y$.
Donc tout $y \in ]0, + \infty[$ a un antécédent dans $\mathbf R$ par $f$.
Or ici, il me semble que l’on vient de montrer que $]0, + \infty[ \subset \text{Im}_f$.
Reste à montrer que $\text{Im}_f \subset ]0, + \infty[$, ce qui se fait aisément en remarquant que $\forall x \in \mathbf R, e^x > 0$.
En effet, montrer que $f$ est surjective revient à écrire que $\text{Im}_f = ]0, + \infty[$ puisque tout éléments de $\text{Im}_f$ a, par définition, un antécédent dans le domaine de $f$.
Si je n’ai pas tort, ça voudrait dire que certaines corrections d’exercices qui demandent si telle fonction $f : E \to F$ est surjective brûlent une étape, celle de montrer que l’ensemble des images de $f$ se trouve bien dans $F$.
Mais bon, peut être que je ne fais que m’embrouiller…
