Mon message est un peu gros…
J’ai compris mon formatage pourri. Ce n’est pas dû au displaystyle qui est automatique avec $$. En fait c’est parce que j’ai utilisé le caractère ∑ au lieu d’écrire \sum. J’étais content d’avoir récemment découvert que mathjax supportait l’unicode mais apparemment y’a quelques problèmes (∑ n’est pas un raccourci pour \sum, c’est juste que le caractère est transféré tel quel pour le rendu je crois). Pourtant j’utilise ça depuis au moins un mois et je n’avais jamais remarqué le problème. Apparemment KaTeX fait ça mieux.
Comme ça j’ai vraiment du mal à visualiser, j’ai vu qu’on pouvait utiliser les fonctions caractéristiques mais…
Ouais, c’est juste ça. Imagines qu’un sous-ensemble de $X$ c’est une fonction vers $\{0,1\}$. On étend ça à une fonction vers $ℤ$ pour pouvoir additionner et soustraire, un sous-ensemble correspond alors à une fonction ne prenant que $0$ et $1$ comme valeurs. On travaille donc avec des familles d’entiers indexées par $X$. Les éléments peuvent être contenus plusieurs fois ou même un nombre négatif de fois dans un sous-ensemble.
Quand on a une opération comme l’addition, la soustraction ou la multiplication, qui fonctionne pour des entiers, on peut l’étendre à nos familles indexées par $X$ en disant par exemple que $(f+g)(i) = f(i) + g(i)$ pour tout $i∈X$. Pour ajouter deux sous-ensembles, on ajoute leurs nombres d’éléments.
Pour prendre le complémentaire d’un sous-ensemble $A$, on prend $1-A$, où $1$ est la famille constante à $1$ (c’est un cas particulier de ce que j’ai dit pour étendre les opérations comme l’addition). C’est intuitif : on prend l’ensemble $X$ tout entier et on lui retire $A$. L’intersection de deux ensembles correspond au produit. L’union ne correspond à aucune opération standard mais on peut utiliser le fait que $A ∪ B = ∁(∁A ∩ ∁B)$ pour obtenir $A∪B = 1-(1-A)(1-B)$. Ce qui n’est pas contenu dans l’union de deux ensembles est ce qui n’est contenu dans aucun. Et ça se généralise à un nombre quelconque d’ensembles : $A_1 ∪ ⋯ ∪ A_n = 1-(1-A_1)⋯(1-A_n)$.
Pour avoir le cardinal d’un sous-ensemble, on somme tous ses nombres d’éléments. Et on remarque que $|A+B| = |A| + |B|$ et que $|nA| = n|A|$ : le cardinal est linéaire. Du coup, quand on développe $1-(1-A_1)⋯(1-A_n)$, on obtient une somme de produits de $A_i$, et quand on prend le cardinal, on obtient la somme des cardinaux des produits (soit des intersections).
Ça peut paraître moyennement naturel ces généralisations de l’intersection par le produit, la complémentation par $1-A$, etc. Pour le produit, ça se justifie assez bien (un élément de l’intersection, c’est un élément du premier ensemble et un du deuxième, qui sont égaux, produit fibré) mais pour la complémentation je ne sais pas trop. Peut-être que prendre $ℤ/2$ au lieu de $ℤ$ est plus naturel.
Je n’ai pas lu la preuve de wikiversity en détail mais je suppose que ce qu’elle fait doit correspondre au développement du produit $(1-A_1)⋯(1-A_n)$ (récursivement).
La visualisation correspond aussi à ce raisonnement récursif. La situation générique de $n$ ensembles se visualise comme un cube de dimension $n$. Pour visualiser deux ensembles en situation générique, on dessine en général deux patates avec une intersection non vide. On peut réarranger ça en dessinant un tableau comme ci-dessous. La première ligne ne sert à rien. L’ensemble $A$ est la première ligne et l’ensemble $B$ est la deuxième colonne, leur intersection étant la case marquée $A∩B$.
En trois dimensions, on prend l’ensemble $\{0,1\}^3$ (un cube en trois dimensions). On a trois coordonnées $x$, $y$ et $z$. Chaque ensemble correspond à un plan d’équation $x=0$, $y=0$ ou $z=0$. Et ainsi de suite en dimension supérieure.
Bon, ensuite je ne suis pas sûr d’arriver à expliquer la récurrence visuellement. En trois dimensions on commence par ajouter le plan $x=0$. Ensuite on ajoute le plan $y=0$ mais il faut retirer son intersection avec le plan $x=0$. On obtient $X+Y-X∩Y$. Ensuite on ajoute le plan $z=0$ mais il faut retirer son intersection avec l’union de $x=0$ et $y=0$. On obtient donc
$$X∪Y + Z - Z∩(X∪Y)$$
et comme l’intersection distribue sur l’union on obtient $X∪Y + Z - (Z∩X)∪(Z∩Y)$ et on applique ensuite la formule pour la dimension $2$. Et récursivement. Ça correspond à prendre $1-(1-X∪Y)(1-Z)$. Mais bon il y a plein de petites variations dans la manière de faire… Au final c’est juste du calcul et ce qui se passe se visualise au niveau du cube.
Une autre manière de voir ce principe est de penser plutôt comme $\max(a,b) = a+b-\min(a,b)$. À la place d’être le produit point par point, l’intersection devient le minimum point par point, je trouve ça plus naturel.
