Dérivées de fonctions usuelles – Polynômes

Salut,

je regardais des tableaux de dérivées de fonctions usuelles et il y a un truc qui m’intrigue. Parfois, pour les formes de type $x^α$, on distingue le cas où $α \in \mathbb{Z}$ du cas où $α \in \mathbb{R}$ et je ne vois pas pourquoi on fait cette distinction puisque dans les deux cas on a le même résultat et que $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$. Est-ce qu’il y a une explication ?

Merci d’avance pour vos réponses.

Salut,

L’ensemble de définition et le domaine de dérivabilité n’est pas le même suivant les cas. Les puissances entières positives, c’est toujours bien défini. Les puissances négatives, tu as un problème en zéro, et pour les puissances non-entières, ça part en couille avec les nombres négatifs (et déjà en 0, regarde la racine carrée par exemple) où le prolongement n’est pas trivial et nécessite de passer sur des fonctions multi-valuées.

Une différence importante est que $x^\alpha$ avec $\alpha$ réel, n’est que défini a priori que pour des valeurs de $x$ strictement positives.

Déjà, on a pas le même résultat lorsque $\alpha \neq 1$ et $\alpha = 1$.

? Ben si, $\alpha x^{\alpha -1}$ est bien une constante (en l’occurrence 1) dans le cas où $\alpha =1$.

Fix’d

Déjà, on a pas le même résultat lorsque $\alpha \neq -1$ et $\alpha = -1$.

? Ben si, $\alpha x^{\alpha -1}$ avec $\alpha =-1$, c’est bien $-\dfrac{1}{x^2}$, donc la dérivé de $\dfrac{1}{x}$.

Ok je me tais, trop de fatigue dans les veines

Donc c’est du au fait qu’il faut faire attention à la valeur de $x$ selon si $α$ est réel ou pas.

Ok merci.