Dérivée d'un produit vectoriel

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour,
Dans un exercice, on me demande de démontrer :

$$(\vec{F} . \vec{G})' = \vec{F'} . \vec{G} + \vec{F} . \vec{G'}$$
$$(\vec{F} \land \vec{G})' = \vec{F'} \land \vec{G} + \vec{F} \land \vec{G'}$$

Pour le premier, aucun problème, il suffisait de se ramener aux coordonnées. J’imagine que pour le second, c’est la même chose, mais je bloque totalement. Si je me ramène aux coordonnées, je me retrouve avec un vecteur à dériver du genre :

$$ \begin{align} (\vec{F} \land \vec{G})' &= (\begin{bmatrix} y_1 z_2 - z_1 y_2\\ x_2 z_1 - z_2 x_1\\ x_1 y_2 - y_1 x_2\\ \end{bmatrix})' \end{align} $$

Quelque chose m’échappe non ?

Merci de votre aide :)

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Sûrement, parce que de mon côté je ne vois pas ce qui te bloque. :p

Rappelle-toi que tu dérives, donc $F$ et $G$ sont implicitement des fonctions à une variable (nommons-la $t$), et que donc tous tes $x_i$, $y_i$ et $z_i$ ne dépendent que de $t$.

Ensuite, tu peux dériver suivant chacune des composantes, facilement. :)

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Si c’est ce qui te bloque, tu peux démontrer que le développement "naïf" de ton expression est justifié :

$$\begin{bmatrix}y_1 z_2-z_1 y_2\\x_2 z_1-z_2 x_1\\x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}(y_1 z_2-z_1 y_2)'\\(x_2 z_1-z_2 x_1)'\\(x_1 y_2 - y_1 x_2)' \end{bmatrix}$$

En prouvant plus généralement que n’importe quelle bonne définition de la dérivabilité assure que si $f_1,f_2$ et $f_3$ sont trois fonctions réelles dérivables :

$$\begin{bmatrix}f_1\\f_2\\f_3\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}f_1'\\f_2'\\f_3'\end{bmatrix}$$

Une fois que t’as ça, il ne reste plus que quelques calculs de dérivabilité de fonctions réelles (que je t’encourage à faire, évidemment). [En fait, on peut les éviter un peu en remarquant que c’est seulement la linéarité de $\wedge$ par rapport à chacune de ses variables dont a besoin.]

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