Etude d'une fonction

Je bloque sur la détermination du signe de la dérivée

L’auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je dois étudier la fonction suivante dans le cadre d’un exercice :

$f(x) = \frac{x}{2} + \sqrt{x^{2} - 2x}$

Je détermine son domaine de définition, les limites à ses bornes, sa dérivabilité, sa continuité et jusque là pas de problème. J’ai aussi déterminer sa dérivée et j’ai trouvée :

$f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{2x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2x}}$

Ce qui réduit au même dénominateur donne normalement:

$f'(x)=\frac{2x + \sqrt{x^{2} - 2x} - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2x}}$

C’est ici que je bloque, je n’ai aucune idée pour déterminer le signe de la dérivée, j’ai essayé de la dérivée à nouveau pour étudier ses variations mais j’ai le même problème avec la dérivée seconde. Je sais bien que je n’ai qu’à déterminer le signe du numérateur mais puisqu’il y a un x sous radical et un x qui n’est pas sous radical je ne sais pas comment faire. Enfin, en tout cas, je n’ai pas trouvé d’idée jusqu’à maintenant pour étudier le signe du numérateur.

Édité par Typhlos

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Salut,

Effectivement, il faut déterminer le signe du numérateur. Lorsqu’une racine te pose problème, il faut à un moment élever au carré pour la faire disparaître, ce qui nécessite souvent d’avoir réussi à l’isoler.

Ici, pour s’en sortir, il faut que tu écrives l’inéquation (effectivement, si tu essaies de voir "de tête" ce que tu peux faire, on ne le voit pas) $ 2x+ \sqrt{x^2 + 2x} - 2 \ge 0$ et que tu cherches à la résoudre.

Passe la racine de l’autre côté, élevé au carré en faisant attention, et ça te ramène à une équation du second degré

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Auteur du sujet

Elle est écrite sur le tableau dans ma chambre attendant sagement que je trouve comment la résoudre.

Effectivement, je n’y avais pas pensé… J’ai essayé la dérivée seconde, la quantité conjuguée et je n’ai tout bêtement pas pensé à élever au carré. Merci :D

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