Simplification Booléenne

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Ce qui est marrant, c’est que je suis justement en train d’écrire un tuto sur le sujet. Donc toi, tu n’as le droit de n’utiliser "que" ce qui se trouve dans cette partie (ce que Karnaugh permet de toute façon de faire). Je vais utiliser le nom des propriétés telles que je les ai notées là, c’est plus simple.

Donc, si je me trompe pas, on a l’expression suivante:

$\bar{a}\cdot\bar{b}\cdot c\cdot d +\bar a\cdot b\cdot \bar c\cdot d +\bar a\cdot b\cdot c\cdot \bar d +\bar a\cdot b\cdot c\cdot d +a\cdot \bar b\cdot c\cdot d +a\cdot b\cdot \bar c\cdot d +a\cdot b\cdot c\cdot \bar d +a\cdot b\cdot c\cdot d$

Si je met un peu en évidence,

$\bar{a}\,(\bar{b}\cdot c\cdot d +b\cdot \bar c\cdot d +b\cdot c\cdot \bar d +b\cdot c\cdot d) +a\,(\bar b\cdot c\cdot d +b\cdot \bar c\cdot d +b\cdot c\cdot \bar d +b\cdot c\cdot d)$

Avec le lien que je t’ai donné et ce que je viens d’écrire, certaines choses devraient se débloquer :)

Là, tu te rend déjà compte que la première parenthèse et la seconde sont les mêmes, donc on peut mettre en évidence:

$(\bar{a}+a)\,(\bar{b}\cdot c\cdot d +b\cdot \bar c\cdot d +b\cdot c\cdot \bar d +b\cdot c\cdot d)$

Or tu te souviens normalement que $\bar{a}+a=1$, qui est le neutre de la multiplication booléenne (le "ET"). Autrement dit, ce terme est inutile (ce qui signifie qu’il n’y a pas de terme en $a$ dans ton expression finale).

Reste donc l’autre morceau (ce qu’il y avait dans l’autre parenthèse):

$$\begin{align} \bar{b}\cdot c\cdot d+b\cdot \bar c\cdot d+b\cdot c\cdot \bar d+b\cdot c\cdot d &= \bar{b}\cdot c\cdot d+b\cdot \bar c\cdot d+b\cdot c\,(\bar d+ d)&(\text{distributivité}) \\ &=\bar{b}\cdot c\cdot d+b\cdot \bar c\cdot d+b\cdot c\cdot 1&(\text{inverse}) \\ &=\bar{b}\cdot c\cdot d+b\cdot \bar c\cdot d+b\cdot c&(\text{neutre}) \\ &= \bar{b}\cdot c\cdot d+b\,(\bar c\cdot d+c) & (\text{distributivité}) \\ &= \bar{b}\cdot c\cdot d+b\,(c+d) & (\text{allègement}) \\ &= \bar{b}\cdot c\cdot d+b\cdot c + b\cdot d & (\text{distributivité}) \\ &= b\cdot d + \bar{b}\cdot c\cdot d+b\cdot c & (\text{commutativité}) \\ &= d\,(b + \bar{b}\cdot c)+b\cdot c & (\text{distributivité}) \\ &= d\,(b + c)+b\cdot c & (\text{allègement}) \\ &= b\cdot d + c\cdot d+b\cdot c & (\text{distributivité}) \end{align}$$

Pour le coup, c’est exactement le processus de Karnaugh, mais étape par étape. Et c’est, si je ne me suis pas trompé, la réponse finale (merci à oddocda de m’avoir signalé mon erreur, au fait).

J’avoue d’avoir la flemme de faire un Karnaugh à minuit pour vérifier, mais tu peux le faire en bonus ;)

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Merci beaucoup pour ton aide  !

Une question lorsqu’on factorise au début, comment sais-tu qu’il faut prendre :

a¯(b¯⋅c⋅d+b⋅c¯⋅d+b⋅c⋅d¯+b⋅c⋅d)+a(b¯⋅c⋅d+b⋅c¯⋅d+b⋅c⋅d¯+b⋅c⋅d) ?

Tu test progressivement si tu peux simplifier ?

Coup de bol. À la base, j’étais parti pour mettre en évidence un littéral, et ne traiter que la première parenthèse en mode "tu fera l’autre toi même". Puis je me suis rendu compte que c’était deux fois la même chose, et que j’avais résolu l’exercice :-°

De toute façon, il aurait été possible de s’en sortir sans mise en évidence avec des coup de "distributivité-inverse-neutre", ce que fait le processus de Karnaugh. J’ai juste eu de la chance :p

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Au début, on a nos 8 termes, on se dit que ça va être long. Donc on cherche des symétries, des ressemblances.

Et on voit qu’il y a 4 termes sur 8 avec a- , et 4 termes sur 8 avec a. Alors que pour b,c et d, c’est différent, on a seulement 2 termes sur 8 avec b-, et idem pour c et d.

Du coup, on voit que a a un rôle particulier. On met a en facteur là ou c’est possible, et on met a- en facteur là où c’est possible.

A la fin, on a un auto-contrôle qu’on peut faire. Quand on supprime le terme a, on a une expression où les 3 termes b c et d jouent des rôles parfaitement symétriques. Et dans l’expression finale, ils jouent toujours des rôles parfaitement symétriques. Ouf. Ca ne prouve pas qu’on ne s’est pas trompé quelque part, mais ça nous rassure.

Si au contraire, on avait trouve un truc du genre b+cd+bd, ça ne pouvait pas être bon.

Des rôles parfaitement symétriques…comment dire ?

Si on assigne b=vrai et c=faux … ou bien si on assigne b=faux et c=vrai, alors on va obtenir le même résultat, parce que la relation est symétrique.

Est-ce plus clair ? En d’autres mots, on peut intervertir b et c, ou b et d…et on retombe sur la formule initiale.

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