Bonjour à tous !
Je m’intéresse à l’expérience suivante : on se donne un réel positif $x$ et on tire un nombre au hasard entre $0$ et $1$. Si ledit réel est supérieur ou égal à $x$, on s’arrête, et sinon on en tire un autre toujours entre $0$ et $1$, on le somme avec le premier et l’on continue ainsi (à tirer et sommer) jusqu’à dépasser $x$.
On note $N(x)$ la variable aléatoire qui donne le nombre de tirages nécessaires pour dépasser $x$, et on s’intéresse à l’espérance de cette variable aléatoire. On note $S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k$ la variable aléatoire qui représente la somme des tirages, avec donc la suite $\left(X_k\right)_{k\in\mathbb{N}^*}$ des tirages. On les suppose indépendants et identiquement distribués. On note $F_X$ la fonction de répartition d’une variable aléatoire. J’ai réussi à montrer les résultats suivants :
On en déduit donc que sur $[0\,;\,1]$, on a $\mathbb{E}(N)=\exp$. En revanche, en dehors de cet intervalle, pas moyen de trouver…
J’ai réalisé une simulation en Python avec le code suivant :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 | import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from random import * from math import exp def count(x): total = 0 essay = 0 while total < x: total += random() essay += 1 return essay def mean(x, n): if x == 0: return 1 res = 0 for i in range(n): res += count(x) return res/n x = list(np.linspace(0,10,1000)) y = [] for a in x: y.append(mean(a,10000)) x = np.array(x) y = np.array(y) plt.ion() plt.figure('Tracé des résultats') plt.plot(x,y, label = 'Résultats') plt.legend() plt.show() |
On a l’impression qu’à partir de $1$, $\mathbb{E}(N)$ est linéaire avec un coefficient directeur proche de $0,95$, mais je ne sais pas comment le montrer. Je n’arrive même pas à montrer que le premier terme dans la limite est de limite nulle. Est-ce que vous auriez des pistes ? 
Merci d’avance !
