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Les canaux semi-angulaires de notre oreille interne qui détectent les accélération angulaires de la tête dans trois plans perpendiculaires, construisent un espace mental de structure localement euclidienne - Jean-Pierre Luminet

Jouer à un FPS avec une manette, c’est comme bosser dans un ev sur un corps $\mathbf K$ non commutatif…

(EN COURS D’ECRITURE, NE PAS S’EN INSPIRER) Injectivité, surjectivité et bijectivité

Soit $f : E \rightarrow F$.

  • f est injective si et seulement si pour tout $y \in F$, il existe au plus un $x \in E$ tel que $y = f(x)$ (autrement dit, soit l’équation n’a qu’une solution, soit elle n’en n’a pas). f est injective si et seulement si pour tout $x, x' \in E$, $f(x) = f(x') \implies x = x'$ (1).

  • f est surjective si et seulement si pour tout $y \in F$, il existe au moins un $x \in E$ tel que $y = f(x)$ (autrement dit, l’équation possède une ou plusieurs solutions mais pas aucune).

  • f est bijective si et seulement si pour tout $y \in F$, il existe un unique $x \in E$ tel que $y = f(x)$ (autrement dit, l’équation possède une unique solution). Elle est bijective si et seulement si elle est injective et surjective (2).

Preuve de (1) :

Supposons $f$ injective, donc pour tout $y \in F$, l’équation $y = f(x)$ admet au plus une solution dans $E$.

Définition : Un ensemble $X$ est appelé sous-singleton si et seulement si $\forall x, x' \in X : x = x'$. On parle aussi d’un sous-singleton si et seulement si $\operatorname{Card}(X) \leq 1$.

$f$ étant injective, chaque fibre $f^{-1}(\{y\})$ de $f$ sur $\{y\} \in P(F)$, est un sous-singleton, d’où $\forall y \in F : \operatorname{Card}(f^{-1}(\{y\})) \leq 1$.

Cela revient à écrire que l’ensemble des solutions de l’équation $y = f(x)$ à un cardinal inférieur ou égal à 1 (en effet, $x \in f^{-1}(\{y\}) \iff f(x) = y$) : on retrouve donc bien la définition de départ.

En partant de la deuxième définition d’un sous-singleton, nous avons équivalence entre les assertions suivantes :

Explications $\iff$
Définition de base $\forall y \in F, \forall x, x' \in f^{-1}(\{y\}) : x = x'$
Passage à l’équation $\forall y \in F : \forall x, x' \in E : f(x) = y \land f(x') = y \implies x = x'$
Inversion des quantificateurs $\forall$ $\forall x, x' \in E : \forall y \in F : f(x) = y \land f(x') = y \implies x = x'$
$\forall y : P(y) \implies Q \equiv (\exists y \in F : P(y)) \implies Q$ $\forall x, x' \in E : (\exists y \in F : f(x) = y \land f(x') = y \implies x = x'$
On remplace $y$ par $f(x)$ $\forall x, x' \in E : (\exists y \in F : f(x) = y \land f(x') = f(x)) \implies x = x'$
Distributivité $\forall x, x' \in E : (\exists y \in F : f(x) = y) \land f(x') = f(x) \implies x = x'$
$\forall x \in E, \exists y \in F : y = f(x)$ $\forall x, x' \in E : f(x') = f(x) \implies x = x'$

Preuve de (2) :

Définition : Une fonction $f$ est surjective si et seulement si $\forall y \in F, card(f^{-1}(\{y\})) \geq 1$

Une fonction $f$ est bijective si et seulement si $\forall y \in F, \exists ! x \in E : y = f(x)$ ou bien $\forall y \in F, card(f^{-1}(\{y\})) = 1$. Autrement dit, pour chaque $y$ de $F$, l’ensemble des solutions de $y = f(x)$ dans $E$ est un singleton.

Définition : $X$ est un singleton si et seulement si c’est un sous-singleton non-vide.

Établissons l’équivalence entre les assertions :

  • $f$ est bijective
  • $f$ est injective et surjective

Si $f$ est surjective, alors $\forall y \in F, card(f^{-1}(\{y\})) > 0$ donc $f^{-1}(\{y\})$ contient au moins $1$ élément (existence). Si en plus d’être surjective, $f$ est injective alors $\forall y \in F, card(f^{-1}(\{y\})) \leq 1$ donc $(f^{-1}(\{y\})$ est bien un sous-singleton (unicité).

De ce fait, $f$ est bijective si et seulement si elle est injective et surjective :

Explications $\iff$
$f$ est surjective et injective $(\forall y \in F, card(f^{-1}(\{y\})) \leq 1) \land (\forall y \in F, card(f^{-1}(\{y\})) > 0)$
$(\forall x : P(x)) \land (\forall x : Q(x)) \equiv \forall x : P(x) \land Q(x)$ $\forall y \in F, 0 < card(f^{-1}(\{y\})) \leq 1$
$card(f^{-1}(\{y\})) \in \mathbf N$ $\forall y \in F, card(f^{-1}(\{y\})) = 1$
Définition d’une bijection $\forall y \in F, \exists ! x \in E : y = f(x)$

Attaquons-nous maintenant à des définitions alternatives :

  • $f$ est injective si et seulement si il existe $g : F \rightarrow E$ tel que $g \circ f(x) = id_E$.
  • $f$ est surjective si et seulement si il existe $g : F \rightarrow E$ tel que $f \circ g(x) = id_F$.
  • $f$ est bijective si et seulement si il existe $g : F \rightarrow E$ tel que $g \circ f(x) = id_E$ et $f \circ g(x) = id_F$.

Preuve :

Injectivité :

Supposons que $f$ est injective. $\dots$

Inversement, supposons $f$ vérifiant $g \circ f = id_E$. Soit $(x, x') \in E^2$ et $f(x) = f(x')$.

De ce fait, $g \circ f(x) = g \circ f(x')$ d’où $id_E (x) = id_E (x')$ et par suite, $x = x'$, donc f est bien injective.

Surjectivité :

Supposons $f$ surjective.

On pose $g(y) = x$, alors par surjectivité de $f$ nous avons $\forall y \in F, f(g(y)) = f(x) = y$ donc $f \circ g = id_F$.

Inversement, supposons $f$ vérifiant $f \circ g = id_F$. Donc $\forall y \in F, f(g(y)) = f(x) = y$ donc $f$ est bien surjective.