Comment rédiger sur ZdS

Hello,

Suite à la proposition de Saroupille (j'espère que tu m'en voudras pas de ne pas avoir attendu), à laquelle j'ai fortement adhéré, j'ouvre ce topic afin de discuter concrètement de la manière dont on devrait faire des maths sur ZdS.

Plus précisément : quels sont les canons à respecter pour la rédaction d'un article ou tutoriel ?

Ce topic fait suite à celui-ci. Il en diffère tout de même par le sujet. Ce topic n'a pas pour but de discuter de l'enseignement en général, mais seulement de ce qui se fait ici. De plus, un article sur ZdS n'a pas vocation à enseigner alors que c'est aussi un aspect de la conversation qui vous est proposé.

Voilà pour l'introduction.

Personnellement, avant de répondre à cette question, j'aimerai essayer de motiver cette discussion.

Il me semble qu'il s'agit ici d'un problème éthique aux mathématiques. En effet, la manière dont on enseigne les mathématiques et dont on les partage influe énormément sur la compréhension des mathématiques par le lecteur.

Contrairement à de la peinture, où le spectateur n'est pas très influencé par l'étiquette, en mathématiques si le cours est peu clair, peu illustré, cela joue dans l'apprentissage. Cela peut donner lieu à des blocages où erreurs d'apprentissage qui sont alors très durs à régler par la suite.

Ce n'est donc pas un problème anodin et à prendre à la légère. Rédacteurs, rappelez-vous de la porté que vous avez sur vos lecteurs !

Je vais terminer par vous glisser une question qui pourrait vous motiver à répondre.

Par exemple, on peut se demander si les mathématiques enseignées doivent suivre une progression historique (ce qui a plusieurs fois été mentionné dans le topic précédent). Est-il utile de retracer quelques siècles alors même que le formalisme mathématique a changé (révolution moderne) et alors même que l'histoire regorge de mauvaises idées ? Que retenons-nous d'une approche historique et qu'est-ce qu'elle doit nous apporter ? La simplicité ne devrait-elle pas être favorisée afin de donner ce que les mathématiques ont de mieux à proposer ?

Je cite un post de Hod que je trouve très pertinent :

Les maths actuelles résultent d'un long cheminement historique, et comme dit Hod, les définitions actuelles sont peut-être simples, élégantes, belles,… mais ne sont pas forcément faites pour donner une compréhension intuitive du concept présenté. Donc, une approche historique, oui, si elle apporte la compréhension que n'apporte pas la définition moderne.

L'approche historique a pour moi une autre vertu : celle de faire comprendre comment raisonne un mathématicien, faire comprendre comment on en est arrivé là, voir comment de la définition première on est arrivé à la définition moderne (et du coup pourquoi cette définition est la plus élégante).
Montrer les erreurs et les cul-de-sac qui ont parsemé l'histoire, c'est intéressant aussi, ça montre comment la science se construit. On nous présente la science de manière trop parfaite, avec uniquement les bons résultats, ça n'aide pas à se faire une idée des difficultés que ces notions ont pu engendrer (Je suis tombé dernièrement sur un texte de la Renaissance, lors du développement du calcul littéral, d'un mathématicien qui ne comprenait pas pourquoi 10x * 10x faisait 100x² et pas 100x. Il disait: quand j'ai un carré de 10 chevaliers sur 10 chevaliers, j'obtiens 100 chevaliers, pas 100 chevaliers au carré )

Mais après ça dépend du but du tuto. Si le but est de présenter un concept mathématique, cette approche peut être intéressante (sans être la seule possible), dans d'autres cas ça peut être inutile (genre un tuto purement technique où le but est d'arriver à utiliser un concept dans les exercices).

On nous présente la science de manière trop parfaite, avec uniquement les bons résultats, ça n'aide pas à se faire une idée des difficultés que ces notions ont pu engendrer

Je ne peux être plus d'accord. Et d'ailleurs ça se ressent au niveau de la société.

Quand je parle à mes amis des maths et de la recherche, leur première réaction c'est : « Mais chercher quoi ? On peut encore chercher ? ». Là où en physique on enseigne une évolution des idées et, surtout, on enseigne la fragilité des modèles, l'élève comprend qu'il y a du travail dans cette matière. Sans mentionner le fait que les travaux de recherche en mathématiques sont très peu présents dans les médias.

Les mathématiques n'offrent pas de modèle imparfait à un même niveau d'enseignement (difficile de dissocier mathématiques et physique dans certaines branches). De manière inhérente donc, on se retrouve à enseigner des résultats qui ne peuvent évoluer. Cela influe sur la pensée du statisme des maths : on nous enseigne ce qui est vrai, qu'est-ce qu'on peut bien chercher ?

Apporter plus d'histoire, même plus que dans ce qui se fait ailleurs, pourrait peut-être contre-balancer cet effet.

Mais faut-il enseigner l'histoire des mathématiques pendant l'apprentissage ou a posteriori ou a priori ? La réponse ne me paraît pas évidente. Aujourd'hui je ne me vois pas apprendre la géométrie au fur et à mesure des siècles. C'est suffisamment difficile pour ne pas avoir en plus à devoir « divaguer » dans l'histoire.

De manière générale, je serais plus pour un enseignement de l'histoire et philosophie des maths en tant que cours à part entière. Malheureusement, sur ZdS, c'est bien difficile d'obliger le lecteur à ce diriger vers tel ou tel écrit pendant la lecture d'un tutoriel ou d'un article.

Quelque chose qui pourrait être envisageable serait de prévoir des parties historiques dans les tutoriels. Soit sous forme de blocs incrustés dans le « coeur mathématique » soit dans une partie auxiliaire.

Je ne suis pas fan de cette approche. Pour le lecteur qui vient lire un cours de maths, ça constituerait plus du bruit qu'autre chose, surtout qu'avec cette approche, on ne peut pas faire de l'histoire poussée, on donnera juste quelques noms et dates, ce qui à mon avis n'est pas utile, sauf à petites doses.

De plus, ça ne donne pas la place qu'elle mérite à l'histoire des sciences, ça en fait un truc auxiliaire. Alors que mon idée dans mon post, c'est que l'histoire des maths doit être au service de ce qu'on veut présenter, elle doit servir à donner du sens à ce qu'on présente.

Par contre le problème des tutos d'histoire des sciences, c'est que généralement ils survolent le sujet, sans entrer dans les détails techniques, et on en ressort généralement juste avec des séries de dates et de noms. Ce que je verrais plutôt, c'est présenter un concept mathématique, en entrant dans le côté technique, mais de manière historique.

Pour illustrer mon propos, je vais prendre l'exemple des nombres complexes. Un tuto mettra généralement en encart historique "C'est Cardan qui, en voulant résoudre les équations du 3ème degré, va es inventer". Moi dans mon tuto sur les nombres, je suis plutôt parti sur mon idée : présenter l'invention historique des complexes, mais en donnant tous les détails de la résolution du 3ème degré, montrer comment ça fait apparaitre les racines négatives....

et on en ressort généralement juste avec des séries de dates et de noms.

Ça, c'est le signe qu'on fait de la mauvaise histoire.

Blague à part, je suis d'accord avec Looping concernant l'approche historique. Mais il faut bien comprendre de quoi il s'agit. Le but n'est pas de faire une histoire des sciences mais d'aboutir à la construction actuelle sans sauter les étapes, afin de la rendre plus claire.

Je m'explique. Au départ de (presque) toute découverte scientifique, y compris mathématique, il y a un problème. Pas nécessairement un problème concret, pas nécessairement un problème du quotidien, mais quelque chose sur lequel on bute. Quelque chose qu'on voudrait faire, mais on ne sait pas comment. Déjà, commencer par là, c'est très important en maths : c'est un domaine très abstrait, et un non passionné a souvent du mal à percevoir l'intérêt de ce qu'on lui enseigne.

Mais ensuite, ce problème n'a pas nécessairement été résolu d'un coup. Il a souvent fallu passer par des étapes plus petites (par exemple, on a d'abord su résoudre les équations du type $ax^4 + cx^2 + dx + e = 0$ et ensuite seulement on a trouvé comment transformer toute équation du quatrième degré en cette forme simplifiée). Et ces étapes sont indispensables (à mon sens) pour vraiment comprendre pourquoi cette solution est la bonne et pas une autre.

Faut-il parler des erreurs, des mauvais cheminements ? Pas nécessairement. Je dirais qu'il faut les intégrer quand l'apprenant est susceptible d'adopter le même raisonnement. L'exemple des cent chevaliers au carré est très intéressant, car le lecteur a de fortes chances de se faire exactement la même réflexion, et on prévient tout blocage en lui montrant dès le départ pourquoi le raisonnement est mal posé.

Pour résumer, la méthode historique consiste à s'appuyer sur l'histoire (en citant éventuellement le nom des principaux acteurs, mais ce n'est même pas obligé) pour reconstituer le cheminement qui mène du problème à la meilleure solution en montrant bien les étapes, de manière à ce que les connaissances acquises par l'apprenant reposent sur une compréhension par lui de la logique qui les sous-tend, plutôt que de sembler parachutées par la volonté du bon dieu Théorème.

Et, oui, cette méthode oblige à faire des phrases…

Et, oui, cette méthode oblige à faire des phrases…

Tout le reste de ton post est intéressant. Dommage que tu aies besoin de faire ce genre de réflexions alors que personne ici n'a dit ne pas vouloir faire de phrases.

C'est Cardan qui, en voulant résoudre les équations du 3ème degré, va es inventer". Moi dans mon tuto sur les nombres, je suis plutôt parti sur mon idée : présenter l'invention historique des complexes, mais en donnant tous les détails de la résolution du 3ème degré, montrer comment ça fait apparaitre les racines négatives....

Dans ton tuto c'est très bien fait. Après, le cas des nombres complexes est assez particulier. Je ne connais pas beaucoup de choses en maths aussi documentées historiquement …

Ce que je veux dire, c'est qu'il est aussi assez difficile de retrouver l'histoire des résultats. Comment on fait ?

Quelle fierte d'etre cite en premiere reponse de ce sujet ! :')

Pour ma part, faire des mathematiques requiert la capacite d'une sorte de traduction automatique entre d'un cote l'obligation du formalisme pour obtenir des resultats, et de l'autre l'expression d'idees simples contenues dans ce formalisme.

Ainsi, lorsque j'enseigne, apres chaque definition je traduis le formalisme dans l'idee qu'elle represente (ou en tout cas l'idee importante pour la suite du cours, la difficulte venant qu'il peut y avoir plusieurs traductions, selon le point de vue adopte qui depend souvent de ses besoins). Lorsque c'est a l'oral et que j'ecris au tableau, je suis encore plus radical puisque je ne lis meme pas le formule dans son formalisme mais uniquement dans l'idee que je veux transmettre.

Un exemple concret. Lorsque j'ecris l'inegalite de Tchebychof $\mathbb{P}(|X - \mu)| \geq a) \leq \frac{\sigma^2}{a^2}$, je ne lis pas 'la probabilite que la valeur absolue de X moins mu soit superieure a a est inferieure a sigma carre sur a carre' mais 'la probabilite qu'une variable aleatoire s'eloigne de sa moyenne plus que de la quantite a est controlee par l'inverse au carre de cette quantite a et par sa variance'. C'est exactement ce qui est ecrit en 'langage mathematique' et pourtant cela donne une bien meilleure idee de ce que l'on ecrit. Par dessus tu rajoutes: il est normal que plus la variance soit grande et plus la borne est grande puisque la variance represente tres exactement une mesure de dispertion autour de la moyenne. Et je pense que tout apparait tres clairement.

La lecture des signes mathematiques c'est un pre-requis qui n'est pas dur a avoir mais n'aide pas a comprendre quoique ce soit. Je me suis apercu que les quelques etudiants que j'ai pu avoir, avait beau avoir un bon cursus, la majorite n'arrive pas ou ne font pas automatiquement cette traduction, prinipalement parce que les enseignants ne la font pratiquement jamais, surtout en mathematique.

L'histoire n'est pas une fin en soi. Pour moi, le but est de répondre à la question "Pourquoi tel concept est intéressant à étudier", ça peut passer par l'étude historique mais c'est pas obligatoire. Pour reprendre l'exemple des complexes, on peut passer par :

• la résolution des équations du 3eme degré (historique)
• trouver une solution à n'importe quelle équation du second degré (même si je trouve que c'est une raison assez dure à justifier (on a du mal à en saisir la logique))
• essayer de rendre possible certaines opérations (tout comme 2-3 a donné Z, 2/3 a donné Q, $\sqrt2$ a donné R, $\sqrt{-1}$ donnera C. Ce n'est pas une justification historique, mais elle suit une certaine logique.

Ce qu'il ne faut pas faire à mon avis, c'est commencer le cours par : Posons i²=-1 puis Propriété 1-Démonstration-Propriété 2....

Après c'est valable pour tous les concepts. Il faut éviter les cours scolaires du genre : Un espace vectoriel c'est ça : <liste des axiomes>. Mais faire "sentir" la notion, en donner une traduction comme dit Hod.

La lecture des signes mathematiques c'est un pre-requis qui n'est pas dur a avoir mais n'aide pas a comprendre quoique ce soit.

En fait j'ai envie de dire que si et c'est justement ce que tu fais.

Lire une formule mathématique, ce n'est pas seulement lire les lettres et les mots d'une phrase. Lire, c'est aussi comprendre le sens.

C'est en ça que je n'aime pas opposer langage mathématique et compréhension. Comme tout texte, une formule mathématique a un sens qui doit se comprendre à la lecture. Ce n'est pas toujours facile, mais c'est cela qu'il faut enseigner, tout comme on enseigne pas que la grammaire en cours de français.

Après c'est valable pour tous les concepts. Il faut éviter les cours scolaires du genre : Un espace vectoriel c'est ça : <liste des axiomes>. Mais faire "sentir" la notion, en donner une traduction comme dit Hod.

En première approche c'est important de donner l'intuition. Mais j'ai l'impression qu'il faut aussi pouvoir donner rapidement les outils pour que le lecteur puisse retenir les résultats plus facilement en deuxième lecture. Il y a une sorte de compromis dans la présentation à trouver.

Ca passe par une compréhension intuitive des bases. La formule donnée par Hod ne se comprend que si on a une vision claire de ce qu'est une probabilité, une moyenne, une variance…

En fait, il faudrait savoir ce qu'on entend par base : est-ce qu'on pourrait trouver l'ensemble minimum des concepts mathématiques à connaitre pour comprendre tous les autres concepts ? Genre les structures algébriques, tous les -ismes (isomorphismes, homéomorphisme....). Et c'est sur ces bases qu'il faudrait insister, genre avoir une série de cours "le minimum théorique en math" ou quelque chose de ce genre, je sais pas si c'est réaliste.
Ces cours ne seraient pas trop formels, ni trop théoriques, mais insisteraient vraiment sur la compréhension de la notion, et donneraient le bagage théorique minimum pour pouvoir aborder des écrits plus scolaires.

Ça ne me semble pas très réaliste, ou alors le minimum théorique serait énorme.

En fait c'est quelque chose qui existe déjà. La formation des matheux passe toujours par de mêmes étapes (grosso modo les trois premières années de sup). C'est peut-être ce qui correspond à ton minimum théorique.

La formule donnée par Hod ne se comprend que si on a une vision claire de ce qu'est une probabilité, une moyenne, une variance…

À priori il n'y a pas besoin d'autant. On peut comprendre la formule juste en connaissant les définitions des différents membres. En revanche on pourra rien en faire si on a pas compris le sens de chacun des membres et alors de la formule.

Sur la rédaction proprement dite, je me suis fait une réflexion :
La section "Rappels" occupe souvent les premiers chapitres du tuto. Si le tuto porte sur le concept Z, le lecteur va commencer par "Rappels A, B, C,....".

• celui qui n'a pas besoin de ces rappels se dira : bon, quand est-ce qu'on commence ?
• celui qui en a besoin va devoir ingurgiter 36 rappels (avec effort intellectuel vu que ces rappels ne sont pas forcément évidents pour lui). D coup sa mémoire est saturée avant même de savoir de quoi le tuto parle. Et il est incapable de filtrer les infos en fonction de s'il en a besoin tout de suite ou à la fin. Du coup au moment où il en a besoin, il aura peut-être oublié.

Serait-ce mieux de mettre les rappels là où on en a besoin ? Du genre : on va étudier si Z a la propriété F. Pour rappel, F signifie que ..... Ca ne ralentira pas la lecture de celui qui n'a pas besoin de ces rappels, parce qu'il va les lire de manière fluide, il n'aura pas besoin de se concentrer dessus, vu qu'il les connait.

Quitte à mettre en annexe pour les gros rappels, du genre : l'annexe A regroupe les principaux résultats de la théorie des groupes qui vous serviront dans ce chapitre.

L'idéal serait de factoriser ces rappels entre les tutoriels et de les afficher ou non lors de la lecture selon les compétences du lecteur. C'est ce que vise à spécifier la ZEP-31.

Cette réflexion est loin d'être idiote. Je suis sûr que si Mewtow passe il dirait la même chose :p.

En revanche, ton idée sur faire les rappels là où on en a besoin me paraît moyenne. Ça surchargerait des passages déjà potentiellement difficiles (ça surcharge même d'autant plus que c'est difficile !).

Les annexes semblent une solution toutes indiquée. En revanche, il est encore assez difficile sur ZdS de rédiger avec des annexes, bibliographies et index. On pourrait, certes, faire une partie appelée « annexe » mais elle ne serait pas plus intéressante qu'une partie introductive que l'on mettrait au début.

A mon avis, mieux vaut mettre les rappels dans des tutoriels séparés, et développer le sujet au maximum. Ainsi, on se retrouvera avec un vrai tutoriel sur le sujet, auquel on peut faire référence ailleurs. En faisant cela, il suffit d'indiquer dans le début du tutoriel quels sont les pré-requis à connaitre, quitte à renvoyer vers les tutoriels "rappel" déjà écrits. L'idée c'est tout simplement d'éviter de dupliquer du contenu, et de faciliter la structuration du contenu.

Maintenant qu'on y voit un peu plus clair sur le problème des rappels. J'aimerais bien vous poser une autre question pratique :

Comment gérer les exercices ?

Plus clairement : comment faire pour que le lecteur s'exerce et prenne en main l'outil ? Quel est le rôle des corrections ?

J'ai déjà vu certains auteurs refuser de mettre une correction par principe. Partant du fait qu'en mathématiques, à part le raisonnement, il n'y a pas d'outil pour juger d'un résultat (contrairement en physique par exemple où on peut faire des expériences). Cela pousserait les élèves à faire attention à leurs raisonnements et rédaction.

Cela dépend de la longueur des rappels. J'ai un exemple très concret : mon article (en rédaction) sur la dénombrabilité/indénombrabilité des ensembles de nombres. Dans la première partie, je redis ce que sont les ensembles, je redéfinis le cardinal d'un ensemble et je parle de bijection. Idéalement, il faudrait un tutoriel pour cela, car ce sont des notions assez compliquées, finalement.

Mais j'ai pris un parti différent : je ne présente pas les choses comme des rappels, mais comme des prérequis. Et du coup, je ne me contente pas d'énoncer des résultats supposés connus, mais j'intègre complètement ces notions à l'article. L'idée est d'avoir un document auto-contenu. Évidemment, ce n'est pas toujours possible (typiquement, ça paraît compliqué d'avoir un truc auto-contenu sur le calcul différentiel — enfin, ça existe mais il faut lire Bourbaki ), mais quand ça l'est, c'est une approche qui me semble préférable.

Ça, je n'y crois pas trop. Pour plusieurs raison. La première, c'est que bien souvent le lecteur ne sait pas rédiger. Impossible alors pour lui d'écrire une démonstration correcte. Mais ça, ce n'est pas le plus important. Le vrai problème, c'est qu'il se peut que le lecteur ne sache pas comment démarrer ou quoi faire, voire qu'il bloque complètement. Et pour éviter cela, il faut lui proposer une correction.

Mais une correction trop sèche ne sert à rien. À mon avis, le fin de fin serait de faire plusieurs corrections. Une correction qui donne simplement l'idée générale, une correction avec un « plan » de démonstration pour donner un fil rouge au lecteur, et enfin une corrections exhaustive rédigée comme il faut. Et si on voulait vraiment être parfait, il faudrait même rédiger des paragraphes sur les mauvaises pistes à éviter pour l'exercice associé.