Supremum et infimum

Bonjour à tous,

Mon prof d'analyse était absent et donc il nous a demandé de bosser les notions de sup et inf seuls (c'est super cool de commencer l'année comme ça <3). Autant vous dire que je comprends le cours mais pas forcément les exercices.

Question avant de commencer, existe-t-il toujours un supremum ? Est-ce que ça peut être l'infini ?

Exemple 1:

$A = \left\{ {n \in {N^*}:{n^2} < 10} \right\}$ Perso j'aurais dis intuitivement $SupA = 3$ et $InfA = 1$

Exemple 2:

$B = \left\{ {\frac{m}{{m + n}}:m,n \in {N^*}} \right\}$

Alors là, j'ai deux variables… Est-ce que je dois séparer 3 cas (m>n, n>m et m=n) ? Si c'est le cas, prenons par exemple le cas m > n. J'ai alors Sup(B)= 1/3 (n=1 et m=2 (car ce sont des entiers naturels!). Mais est-on d'accord que l'on a pas de borne inférieure InfB (ou alors elle est infinie?) ?

Merci d'avance.

Je suis d'accord mais j'ai divisé en plusieurs cas (peut-être on ne peut pas/doit pas le faire ?)

Cas 1: n > m

Sup(B) = 1/3 Inf(B) = 0

Pourquoi ? Je me suis dis que si n > m alors le plus petit entier naturel non nul pour n sera 2. Le plus petit naturel non nul pour m est 1. On vérifie aussi 2 > 1. D'après la relation donnée j'ai donc $\frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{3}$

0 est assez évident comme tu me l'a fais remarqué sauf qu'il n'appartient pas à ${{N^*}}$ et ça me perturbe… Est-ce donc correct ?

J'aurais puis fais le cas n = m donc là j'ai quelque chose de constant (toujours du 1/2 !) –> pas de Sup et Inf ? Ou alors Sup = Inf ?

Etc.

Je ne sais pas cependant si séparer les cas est une chose à faire !

Merci

Ok ! Merci! Je pense avoir compris C'est bien Inf(B) = 1 (limite pour n tendant vers l'infini) ? Le problème c'est que pour ma borne supérieur je pourrai que l'exprimer en fonction de m ou alors mettre l'infini : $1 + \frac{m}{1} = 1 + m$

D'ailleurs, pour le A vous m'avez rien dit mais j'ai l'impression que c'est faux car $x \in N*$ ${n^2} < 10 \Leftrightarrow - \sqrt {10} < n < \sqrt {10} $ donc je n'ai pas de Sup ni de Inf dans les naturels (dans R ça aurait été une autre histoire (non?)). Ok! Et donc mon minorant (le plus grand) pour B ce serait 0 ? Par contre je vois toujours pas pourquoi mon majorant (le plus petit) serait 1… Pour moi ça serait 1/2.

Pour A, c'est plus facile parce qu'il suffit de prendre le maximum et le minimum de l'ensemble, qui seront automatiquement borne sup et borne inf. Pour B tu ne peux pas, parce qu'il n'y a ni maximum, ni miminum dans l'ensemble.

1/2 n'est pas majorant, parce que par exemple 3/4 est dans l'ensemble B (3/(3+1)).

Au delà de ton intuition, essaie pour B de faire clairement ceci:

• prouver que 1 est majorant (facile)
• prendre $\epsilon > 0$
• prouver qu'il y a une contradiction entre $1-\epsilon$ est majorant et le fait que $\forall n \in \mathbb{N^*}, \lim_{m\rightarrow\infty} \frac{m}{m+n} = 1$
• tu auras alors montrer que pour tout $x < 1$, $x$ n'est pas majorant, et donc que 1 est le plus petit des majorants, et donc la borne sup.

EDIT: correction erreur relevée par tanguy.

Quelques notions en vrac sur les bornes sup et inf. Déjà, ce sont des constantes, elles ne dépendent que de l'ensemble : les bornes inférieure et supérieure de tes ensembles A et B ne que des éléments contenus dans A et B, mais pas de manière dynamique (contrairement à l'image d'un élément par une fonction définie sur A par exemple).

Ensuite, en effet, dans A la borne inférieure n'est pas un nombre entier naturel : elle est égale à $\sqrt{10}$. C'est un point un peu délicat : l'existence ou non d'une borne inf (ou sup) dépend très fortement de l'ensemble dans lequel on se place. Typiquement, ton ensemble A n'a pas de borne inférieure dans $\mathbb N$ : sa borne inf est irrationnelle. En fait, c'est une propriété fondamentale de $\mathbb R$ : il vérifie la propriété dite de la borne inférieure (cf. Wikipédia par exemple).

Pour B, effectivement 0 est minorant et c'est le meilleur donc c'est la borne inf. Par contre, 1/2 n'est pas un majorant, car par exemple 3/4 appartient à l'ensemble B. Par contre, 1 est majorant car pour tous entiers naturels non nuls $m, n$, on a manifestement $n<n+m$, donc $\frac{n}{m+1}<1$. Ensuite, il faut justifier pourquoi il n'y a pas de majorant plus petit que 1.

L'idée est que quel que soit le nombre réel $x$ strictement inférieur à 1, aussi proche de 1 soit-il, je peux toujours trouver une fraction dans A qui est plus grande que x. Arrives-tu à voir pourquoi ?

O.K., Aabu m'a pwnd-grilled.

Tu es sûr de cette limite ?

Il me semble que $\sqrt{10}$ n'est pas un minorant de A. Je n'ai pas compris pourquoi les réponses de ZDS_M pour A étaient fausses à vrai dire.

Holà, en effet, j'ai raconté n'importe quoi. J'ai lu trop vite la définition de A. 1 est bien minorant et minimum de A donc c'est l'inf. 3 est majorant et maximum, donc c'est le sup.

Desolé pour la confusion.