Supremum et infimum

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Mon prof d'analyse était absent et donc il nous a demandé de bosser les notions de sup et inf seuls (c'est super cool de commencer l'année comme ça <3). Autant vous dire que je comprends le cours mais pas forcément les exercices.

Question avant de commencer, existe-t-il toujours un supremum ? Est-ce que ça peut être l'infini ?

Exemple 1:

$A = \left\{ {n \in {N^*}:{n^2} < 10} \right\}$ Perso j'aurais dis intuitivement $SupA = 3$ et $InfA = 1$

Exemple 2:

$B = \left\{ {\frac{m}{{m + n}}:m,n \in {N^*}} \right\}$

Alors là, j'ai deux variables… Est-ce que je dois séparer 3 cas (m>n, n>m et m=n) ? Si c'est le cas, prenons par exemple le cas m > n. J'ai alors Sup(B)= 1/3 (n=1 et m=2 (car ce sont des entiers naturels!). Mais est-on d'accord que l'on a pas de borne inférieure InfB (ou alors elle est infinie?) ?

Merci d'avance. :)

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Staff

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Tu as un problème avec Sup(B). C'est censé être le plus petit des majorants. Sauf que 1/3 n'est pas un majorant, parce que 1/2 est dans B. Pour la borne inférieure, tu peux essayer pareil de trouver le plus grand des minorant (indice m/(m+n) est nécessairement positif)).

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La question de savoir si un supremum existe toujours ou non dépend de l'ensemble dans lequel tu travailles. Si tu découvres la notion, on considère en général que l'infini n'est pas un supremum acceptable (ce n'est pas un réel), mais on a une propriété qui est d'ailleurs utilisée dans une manière de construire les réels : « Tout ensemble majoré admet une borne supérieure ».

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Auteur du sujet

Tu as un problème avec Sup(B). C'est censé être le plus petit des majorants. Sauf que 1/3 n'est pas un majorant, parce que 1/2 est dans B. Pour la borne inférieure, tu peux essayer pareil de trouver le plus grand des minorant (indice m/(m+n) est nécessairement positif)).

Aabu

Je suis d'accord mais j'ai divisé en plusieurs cas (peut-être on ne peut pas/doit pas le faire ?)

Cas 1: n > m

Sup(B) = 1/3 Inf(B) = 0

Pourquoi ? Je me suis dis que si n > m alors le plus petit entier naturel non nul pour n sera 2. Le plus petit naturel non nul pour m est 1. On vérifie aussi 2 > 1. D'après la relation donnée j'ai donc $\frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{3}$

0 est assez évident comme tu me l'a fais remarqué sauf qu'il n'appartient pas à ${{N^*}}$ et ça me perturbe… Est-ce donc correct ?

J'aurais puis fais le cas n = m donc là j'ai quelque chose de constant (toujours du 1/2 !) –> pas de Sup et Inf ? Ou alors Sup = Inf ?

Etc.

Je ne sais pas cependant si séparer les cas est une chose à faire !

Merci :)

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Séparer les cas n'est pas une mauvaise idée, mais ce n'est pas nécessaire ici. Les démonstrations de borne sup / borne inf se font un peu toujours de la même manière, au moins au début : - montrer que la borne sup/inf est un majorant/minorant - utiliser la caractérisation avec les epsilon ( $\forall \epsilon >0, M- \epsilon$ n'est pas un majorant).

Ici, pour avoir de l'intuition : tu vois que plus tu augmentes n, plus la valeur diminue. Donc tu vas sans doute atteindre la borne inf en faisant tendre n vers l'infini, et la borne sup en prenant n=1. Ensuite, il te reste à regarder la valeur que tu donnes à m…

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Auteur du sujet

Ok ! Merci! Je pense avoir compris :) C'est bien Inf(B) = 1 (limite pour n tendant vers l'infini) ? Le problème c'est que pour ma borne supérieur je pourrai que l'exprimer en fonction de m ou alors mettre l'infini : $1 + \frac{m}{1} = 1 + m$

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Staff

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Tu ne peux pas avoir une borne qui dépend de $n$ ou $m$, parce qu'une borne ne dépend que de l'ensemble, pas de la manière dont il est décrit.

La recette pour prouver qu'il y a une borne supérieure, c'est ça : trouver un majorant montrer que c'est le plus petit majorant

Pour A, c'était facile, parce que le majorant et aussi le maximum, et donc la borne supérieure. Pour B, tu peux prouver que tout élement de B est inférieur à 1. Ça te donne un majorant. Pour montrer que c'est le plus petit, il faut utiliser ce qu'à dit Mouton, et prouver que quelque chose de plus petit n'est pas majorant (indice : il faut faire tendre quelque chose vers 1).

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Auteur du sujet

D'ailleurs, pour le A vous m'avez rien dit mais j'ai l'impression que c'est faux car $x \in N*$ ${n^2} < 10 \Leftrightarrow - \sqrt {10} < n < \sqrt {10} $ donc je n'ai pas de Sup ni de Inf dans les naturels (dans R ça aurait été une autre histoire (non?)). Ok! Et donc mon minorant (le plus grand) pour B ce serait 0 ? Par contre je vois toujours pas pourquoi mon majorant (le plus petit) serait 1… Pour moi ça serait 1/2.

Édité par ZDS_M

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Staff

Pour A, c'est plus facile parce qu'il suffit de prendre le maximum et le minimum de l'ensemble, qui seront automatiquement borne sup et borne inf. Pour B tu ne peux pas, parce qu'il n'y a ni maximum, ni miminum dans l'ensemble.

1/2 n'est pas majorant, parce que par exemple 3/4 est dans l'ensemble B (3/(3+1)).

Au delà de ton intuition, essaie pour B de faire clairement ceci:

  • prouver que 1 est majorant (facile)
  • prendre $\epsilon > 0$
  • prouver qu'il y a une contradiction entre $1-\epsilon$ est majorant et le fait que $\forall n \in \mathbb{N^*}, \lim_{m\rightarrow\infty} \frac{m}{m+n} = 1$
  • tu auras alors montrer que pour tout $x < 1$, $x$ n'est pas majorant, et donc que 1 est le plus petit des majorants, et donc la borne sup.

EDIT: correction erreur relevée par tanguy.

Édité par Aabu

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Quelques notions en vrac sur les bornes sup et inf. Déjà, ce sont des constantes, elles ne dépendent que de l'ensemble : les bornes inférieure et supérieure de tes ensembles A et B ne que des éléments contenus dans A et B, mais pas de manière dynamique (contrairement à l'image d'un élément par une fonction définie sur A par exemple).

Ensuite, en effet, dans A la borne inférieure n'est pas un nombre entier naturel : elle est égale à $\sqrt{10}$. C'est un point un peu délicat : l'existence ou non d'une borne inf (ou sup) dépend très fortement de l'ensemble dans lequel on se place. Typiquement, ton ensemble A n'a pas de borne inférieure dans $\mathbb N$ : sa borne inf est irrationnelle. En fait, c'est une propriété fondamentale de $\mathbb R$ : il vérifie la propriété dite de la borne inférieure (cf. Wikipédia par exemple).

Pour B, effectivement 0 est minorant et c'est le meilleur donc c'est la borne inf. Par contre, 1/2 n'est pas un majorant, car par exemple 3/4 appartient à l'ensemble B. Par contre, 1 est majorant car pour tous entiers naturels non nuls $m, n$, on a manifestement $n<n+m$, donc $\frac{n}{m+1}<1$. Ensuite, il faut justifier pourquoi il n'y a pas de majorant plus petit que 1.

L'idée est que quel que soit le nombre réel $x$ strictement inférieur à 1, aussi proche de 1 soit-il, je peux toujours trouver une fraction dans A qui est plus grande que x. Arrives-tu à voir pourquoi ?

O.K., Aabu m'a pwnd-grilled. :-°

Édité par c_pages

  • prouver qu'il y a une contradiction entre $1-\epsilon$ est majorant et le fait que $\forall m \in \mathbb{N^*}, \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{m}{m+n} = 1$

Aabu

Tu es sûr de cette limite ? ^^

Ensuite, en effet, dans A la borne inférieure n'est pas un nombre entier naturel : elle est égale à $\sqrt{10}$.

c_pages

Il me semble que $\sqrt{10}$ n'est pas un minorant de A. Je n'ai pas compris pourquoi les réponses de ZDS_M pour A étaient fausses à vrai dire.

Édité par Nobody

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