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Bac de maths, correction de l'exercice 2

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Je vais proposer maintenant une correction de l’exercice 2. Vous pouvez trouver l’énoncé ici.

Correction

Première question

Le point $(1,a,a^2)$ appartient au plan $P$ si, et seulement si,

$$2 - a^2 -3 = 0.$$

Pour montrer qu’aucune valeur de $a$ ne permet d’obtenir un tel point, il suffit de montrer que l’équation du second degré :

$$ -x^2 -1 = 0$$

n’admet pas de solution réelle. Mais cette équation c’est $x^2=-1$ et donc il n’existe pas de solution réelle (les solutions sont $i$ et $-i$ !).

Deuxième question

Petit a

Un vecteur orthogonal à $P$ est donné par $(2,0,-1)$. En effet, $(x,y,z)$ appartient à $2x-z=0$ si, et seulement si,

$$ (2,0,-1)\cdot (x,y,z) = 2x - z = 0$$

c’est-à-dire $(x,y,z)$ orthogonal à $(2,0,-1)$.

La droite $D$ est donc décrite par :

$$ t(2,0,-1) + (1,a,a^2) = (2t +1 , a, -t+a^2)$$

avec $t$ le paramètre réel.

Petit b

Soit $M=(x,y,z)$ un tel point de de $D$. Alors la distance au carré, $AM^2$, est donnée par $(x-1)^2+ (y-a)^2 + (z-a^2)^2$, c’est-à-dire :

$$ 4t^2 + 0^2 + t^2$$

et donc la distance est :

$$ AM = \sqrt{5t^2} = \sqrt 5 |t|.$$

Troisième question

Il s’agit tout d’abord de déterminer l’intersection, $H$, de la droite $D$ avec le plan $P$. Ils s’intersectent bien car $D$ est dirigé par un vecteur normal à $P$, donc évidemment non parallèle.

Puisqu’un tel point appartient à $D$, il s’écrit $H = (2t+1,a,-t+a^2)$ avec $t$ un réel. Pour que $H$ appartienne au plan $P$ il faut et il suffit que :

$$2(2t+1) - (-t+a^2) = 3$$

c’est-à-dire :

$$ 4t + 2 +t - a^2 = 5t + 2 - a^2 = 3$$

ce qui donne :

$$ t = \frac{1+a^2}{5}.$$

La question précédente appliquée à $M=H$ montre que la distance de $A$ au plan $P$ est :

$$ AH = \frac{1+a^2}{\sqrt 5}.$$

La fonction $x\mapsto 1+x^2$ ayant un minimum en $x=0$, cette distance a donc un minimum atteint en $a=0$, c’est-à-dire pour $A=(1,0,0)$.

La distance minimale obtenue est alors $1/\sqrt 5$.


C’est cool la géométrie ! :)

4 commentaires

Précisions sur ce message :

Je me suis dis que si il n’existait pas de valeur de $a$ pour laquelle la distance $AH$ était minimale, c’était que $A$ était toujours sur le même plan parallèle à $P$. Donc j’avais pensé à montrer que $A$ pour une certaine valeur de $a$ appartenait à un plan parallèle à $P$ et que $A$ pour une autre valeur de $a$ n’appartenait pas au même plan. Mais bon, ça aurait sûrement était plus long à faire et plus risqué, parce que si la réponse à la question était négative alors fallait que je fasse autre chose vu que c’est qu’un contre exemple mon truc.

Edit : merci pour tes corrections. :) Tu pourrais toutes leur mettre le même tag pour pouvoir avoir une URL qui pointe vers la collection de billets ?

Édité par tleb

Je me suis dis que si il n’existait pas de valeur de a pour laquelle la distance AH était minimale, c’était que A était toujours sur le même plan parallèle à P.

Ça dépend comment tu définis $A$, mais c’est faux en toute généralité.

Par exemple tu prends le plan $z=0$ et les points $A$ :

$$ (0,0,\exp(-x^2))$$

et alors la distance entre $A$ et le plan a une borne inférieur mais pas un minimum, et pour autant $A$ n’est pas toujours sur un même plan parallèle à $P$.


Si je mets un tag ça change l’url ?

Édité par Holosmos

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