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Bac S de maths : correction de l'exercice 1

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Voici une petite correction de l’exercice 1 du bac de mathématiques de 2017, avec, bien entendu, des explications ! :-)

Le sujet ce trouve ici. Je vous invite à regarder les corrections de Holosmos aussi. :-D

[Partie A] Exponentielle, un incontournable

La fonction Exponentielle est un incontournable du bac.

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbf R^+ = [0, +\infty[$ par $h(x) = xe^{-x}$.

Question n°1

Il faut déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $h$.

Par opération sur les limites, on aboutit à une forme indéterminée $0 \times (+ \infty)$

Commençons par remarquer que $e^{-x} = e^{0 - x} = \dfrac{e^0}{e^x} = \dfrac{1}{e^x}$. Dès lors, $h(x) = \dfrac{x}{e^x}$

A partir de là, on peut utiliser que $\dfrac{e^x}{x} \rightarrow + \infty$ avec $x$ (cas normalement vu en cours) et passer à l’inverse pour conclure que $\dfrac{x}{e^x} \rightarrow 0$ lorsque $x \rightarrow +\infty$.

Pour les plus curieux, voici deux preuves détaillée ici-bas.

Prérequis :

Montrons que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{ln(x)}{x} = 0$. On sait que $ln(x) = \int_1^x \dfrac{1}{t} dt$ donc $\dfrac{ln(x)}{x} = \dfrac{1}{x} \int_1^x \dfrac{1}{t} dt$.
On remarque que $\forall t > 1, \sqrt{t} \leq t$, soit $\dfrac{1}{t} \leq \dfrac{1}{\sqrt{t}}$ puis $\int_1^x \dfrac{1}{t} dt \leq \int_1^x \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt$ par les propriétés de l’intégrale.

Or, $\dfrac{1}{x} \int_1^x \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt = \dfrac{1}{x} [2\sqrt{t}]_1^x = \dfrac{2\sqrt{x} - 2}{x} = \dfrac{2x^{\frac{1}{2}} + 2}{x} = \dfrac{x(2x^{-\frac{1}{2}} + \dfrac{2}{x})}{x} = 2\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x} \rightarrow 0$ lorsque $x \rightarrow +\infty$.

Donc, $0 < \dfrac{1}{x} \int_1^x \dfrac{1}{t} dt \leq \dfrac{1}{x} \int_1^x \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt \iff 0 < \dfrac{ln(x)}{x} \leq 2\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x}$.

Cela permet de conclure $\dfrac{ln(x)}{x} \rightarrow 0$ lorsque $x$ tend vers l’infini positif, en utilisant le théorème des gendarmes.

Première preuve :

$\dfrac{e^x}{x} = exp(x - ln(x)) = exp(x(1 - \dfrac{ln(x)}{x}))$.

Quand $x \rightarrow +\infty$, $1 - \dfrac{ln(x)}{x} \rightarrow 1$ par opération sur les limites. S’ensuit $x(1 - \dfrac{ln(x)}{x}) \rightarrow +\infty$ donc $exp(x(1 - \dfrac{ln(x)}{x})) = \dfrac{e^x}{x} \rightarrow +\infty$.

En passant à l’inverse, on a bien $\dfrac{x}{e^x} \rightarrow 0$ lorsque $x$ tend vers l’infini positif.

Deuxième preuve (sans passer par $\dfrac{e^x}{x}$):

On pose $f = e^x$.

$\dfrac{x}{e^x} = \dfrac{ln(e^x)}{e^x} = \dfrac{ln(f(x))}{f(x)}$.

$f$ tend vers l’infini positif avec $x$, donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{ln(f(x))}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{ln(x)}{x} = 0$

Question n°2

On va étudier les variations de $h$ sur son domaine de définition.

On commence par dériver : $h'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.

$x \mapsto e^x$ est strictement positive sur $\mathbf R^-$ donc notre dérivée est du signe de $1 - x$.

Il est alors facile de déterminer les variation de $h$ sur $[0, +\infty[$:

  • $x \mapsto 1 - x$ est positive sur $[0, 1[$ donc $h$ croît sur cet intervalle.

  • Elle s’annule en 1 puis change de signe, $h$ admet donc un maximum en $x = 1$ soit $max(h(\mathbf R^+)) = h(1) = e^{-1}$.

  • $h$ décroît évidement sur $]1, +\infty[$. N’oubliez pas d’indiquer sa limite!

Question n°3

On cherche à déterminer une primitive de h(x)…

a)

Vérifions que $\forall x \in \mathbf R^+, h(x) = e^{-x} - h'(x)$ :

$e^{-x} - h'(x) = e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = xe^{-x} = h(x)$.

b)

Déterminons une primitive de $x \mapsto e^{-x}$ sur $\mathbf R^+$

$(-e^{-x})' = -1 \times -e^{-x} = e^{-x}$

Donc $\int e^{-x} dx = -e^{-x}$.

c)

Dès lors, $\int h(x) dx = \int e^{-x} - h'(x) dx = -e^{-x} - xe^{-x} = -(x + 1)e^{-x}$.

[Partie B] Le logarithme népérien entre en jeu...

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbf R^+$ par $f : x \mapsto xe^{-x} + \ln(x + 1)$ et $g : x \mapsto \ln(x + 1)$.

Voici maintenant les graphes de ces deux fonctions :

C’est bô

Question 1

$M (x, f(x))$ et $N (x, g(x))$ sont deux point respectivement situés sur $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ (ils ont la même abscisse).

On cherche à trouver la distance MN maximale.

Plaçons-nous dans le repère orthonormé $\mathcal R(O, \vec{i}, \vec{j})$$||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1$.

De ce fait, $\vec{MN} = (x - x)\vec{i} + (g(x) - f(x))\vec{j} = (xe^{-x} + \ln(x + 1) - \ln(x + 1))\vec{j} = (xe^{-x})\vec{j}$.

Ainsi, $||\vec{MN}|| = \sqrt{(xe^{-x})^2} = \sqrt{h(x)^2} = h(x)$ par stricte positivité de $h$ sur $\mathbf R^+$.

Or, comme nous l’avons vu dans la partie A, $h$ admet son maximum en $x = 1$.

Donc pour $M(1, e^{-1} + \ln(2))$ et $N(1, \ln(2))$, on a une distance maximale de $ e^{-1}$

Question 2

a)

Soit $\lambda \in \mathbf R^+$ et les droites d’équations $x = 0$ et $x = \lambda$.

On cherche à déterminer une expression de l’aire $\mathcal A_{\lambda}$ sous les deux courbes entre ces-deux droites.

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $\mathbf R^+$ (puisque dérivables) et telles que $f \geq g$. De ce fait, l’aire entre les deux courbes correspond à $\int_0^{\lambda} f(x)-g(x) dx$.

$\mathcal A_{\lambda} = \int_0^{\lambda} f(x) dx - \int_0^{\lambda} g(x) dx = \int_0^{\lambda} f(x) - g(x) dx$ par la linéarité de l’intégrale.

Donc $\mathcal A_{\lambda} = \int_0^{\lambda} xe^{-x} = [-(x + 1)e^{-x}]_0^{\lambda} = -e^{-\lambda} (\lambda + 1) + 1 = -\lambda e^{-\lambda} - e^{-\lambda} + 1 = -\dfrac{\lambda}{e^{\lambda}} - \dfrac{1}{e^{\lambda}} + 1 = 1 - \dfrac{\lambda + 1}{e^{\lambda}}$.

b)

On cherche à déterminer $\displaystyle \lim_{\lambda \to +\infty} 1 - \dfrac{\lambda + 1}{e^{\lambda}}$.

Pour ce faire, remarquons que $1 + \dfrac{\lambda + 1}{e^{\lambda}} = 1 - \dfrac{\lambda}{e^{\lambda}} + \dfrac{1}{e^{\lambda}}$ en divisant par $e^{\lambda}$ au numérateur et au dénominateur.

Ensuite, $\dfrac{\lambda}{e^{\lambda}} \rightarrow 0$ et $\dfrac{1}{e^{\lambda}} \rightarrow 0$ lorsque $x \rightarrow + \infty$.

Donc la limite est égale à 1.

Question 3

a)

Nous avons l’algorithme suivant :

Un algorithme type Algobox/Pseudo-code

On observe aisément que pour $S = 0,8$, l’algorithme nous ressort $\lambda = 3$.

b)

A quoi sert cet algorithme?

L’algorithme permet de déterminer le plus petit $λ$ tel que l’aire entre les courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = \lambda$ soit supérieure à S.


Prévenez moi s’il y a des pépins (c’est probable), n’ayant moi même pas trop réussi l’épreuve, je fais aussi cette correction à titre d’exercice.

30 commentaires

Ah d’accord ok j’ai compris.

J’ai cru que t’avais écris que c’était encore valable $\lambda = 3$ parce que $0,800852 < 0,8$, j’ai trouvé ça étrange.

Pourquoi j’ai écris $\lambda = 4$? Parce que je suis idiot et j’ai pas confiance en moi.

Édité par anonyme

+0 -0

Salut, je ne comprend pas trop bien ta méthode.

Ozmox

Entwanne, que veux-tu dire?

Ozmox

On part de $x \mapsto e^x - 2$, strictement positive sur $]\ln 2; +\infty[$. $x \mapsto e^x - 2x$, une de ses primitives, est donc strictement croissante sur ce même domaine. Comme cette dernière est strictement positive en $\ln 2$, on en déduit qu’elle l’est pour tout $]\ln 2; +\infty[$.

On passe alors à l’une de ses primitives, $x \mapsto e^x - x^2$, strictement croissante sur $]\ln 2; +\infty[$. Et de même, elle est strictement positive en $\ln 2$, donc sur tout l’intervalle.

Partant de là, on a $e^x > x^2$ pour $x > \ln 2$, ce qui permet de déterminer la limite en $+\infty$ de $\frac{e^x}{x}$.

(à la base, je pensais même à partir de $exp$ et utiliser $x \mapsto e^x - 2$ comme première primitive, mais autant directement commencer par cette dernière)

Édité par entwanne

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