Bac STL : Correction 2017

• Bac de maths, correction de l'exercice 2
• Le tiramisu

Ah ce sujet est vraiment intéressant. Aux premiers instant on aperçois le schéma d’une brasserie. Rien de plus réjouissant pour commencer son examen. J’aurais aimé avoir le même sujet !

Voici ma proposition de résolution, elle s’appuie notamment sur la proposition incomplète offerte par Studyrama.

• Partie 1 - Dosage conductimétrique des ions chlorure dans une eau de brassage
• Partie 2 - Autour de la fermentation
• Partie 3 - Le conditionnement de la bière

Partie 1 - Dosage conductimétrique des ions chlorure dans une eau de brassage

Nous avons typiquement une question de lecture de document. Les entrées, c’est ça qu’il faut regarder :

• Eau
• Levures
• Houblon
• Malt

Vous ne pouviez pas le deviner mais il s’agit surement du Malt d’orge typique (une graine germée). Il suffisait de suivre les flèches directionnelles qui nous indiquées d’où venait les matières premières pour résoudre cette question.

Au départ on peut avoir peur et se dire qu’on aura besoin de la loi de Kohlrausch qui est clairement au cœur du chapitre de l’analyse conductimètre du cycle de terminale STL-SPCL.

Mais pas du tout, donc ne nous compliquons pas la tâche pour rien et allons au plus simple :

Alors ici je vais séparer en deux idées :

• L’équivalence se lie facilement
• Explications partie par partie des zones de la courbe à l’aide des coefficients de conductivité molaire donné dans le tableau

Le premier point est simple, on vous dit que l’équivalence est à $12.0$ mL, et en plus vous voyez vous même que la courbe change de forme lorsqu’elle passe au dessus du $12$ de l’axe des abscisses. C’est la question : "Qui sait lire le graphique ?" du coups vous imaginez bien qu’elle n’est pas l’essence même de la question… Donc si vous voulez les points il va falloir étayer :

Le volume équivalent se trouve en traçant les droites des deux zones respectives de la courbe. L’intersection de ces deux droites nous donnera un point situé au volume équivalent sur l’axe des abscisses :

Avant l’équivalence nous avons donc une zone ou la conductivité baisse un tout petit peu. Rien de bien impressionnant. Pourquoi ?

Et bien la raison est clairement liée à la manipulation. Que faisons nous ? Nous ajoutons à l’eau de brassage, qui contient des chlorures, des ions $\mathrm{Ag^+}$. Les ions chlorures précipitent sous forme de $\mathrm{AgCl_{(s)}}$. Donc ils quittent la solution, ne sont plus ionique, donc ne conduisent plus l’électricité.

• Les ions chlorures sont responsables de $\sigma = 9\;mS.m^{-1}$
• Puis on ajoute des $\mathrm{Ag^+}$ qui vont éliminer les $\mathrm{Cl}^-$
• Substentiellement on ajoute des $\mathrm{NO_3^-}$ qui ont une conductivité moins élevé que les chlorures
• On aura finalement substitué l’anion $\mathrm{Cl^-}$ par des $\mathrm{NO_3^-}$ moins conducteur, normal que la conductivité baisse

Après que l’équivalence soit atteinte on a plus de chlorure qui puissent réagir avec l’argent. Donc ce qui se passe typiquement :

• On ajoute des ions $\mathrm{Ag}^+$ à une solution inerte (qui ne réagit plus)
• La quantité de $\mathrm{NO_3^-}$ continue elle aussi à grimper
• La concentration en ion augmente sans s’arrêter d’où l’augmentation de la conductivité de la solution $\sigma = 21\;mS.m^{-1}$

Avec :

• $\mathrm{C_{Ag^+} = 10\;mmol \cdot L^{-1}}$
• $\mathrm{V_e = 12.0\;mL = 0.012\;L}$
• $\mathrm{V_1 = 100\;mL = 0.1\;L}$

Nous avons de quoi déterminer la concentration molaire d’ions chlorures :

Maintenant pour convertir en concentration massique (en faisant attention aux unités !) on utilise $\mathrm{C_n \cdot M= C_{massique}}$.

C’est pas la partie qui m’intéresse le plus ce n’est pas mon fort… Donc j’vous laisser avec la correction de studyrama page $2$ et $3$ ici.

Encore une fois petite séance de lecture de document. On a, pour rappel, $\mathrm{C_{Cl^-} = 42.6\;mg\cdot L^{-1}}$. Nous avons donc une bière avec une eau limpide et une dureté en bouche faible puisque ne sommes largement sous la barre des $\mathrm{70\;ppm}$. Nous avons là une bière légère, très certainement une bonne blonde !

Partie 2 - Autour de la fermentation

A - Le refroidissement du moût.

Faire circuler à contre courant qu’est ce que ça veut dire et à quoi ça sert ? C’est réellement ça qui est demandé dans cette question.

Le fluide chaud (rouge) arrive par un coté où le fluide froid (bleu) lui en sort. C’est ça un contre courant. Mais en quoi c’est un choix judicieux ?

Le premier est le schéma (avec le gradient de température) de deux fluide à contre-courant. On voit qu’à la fin (à chaque sortie ou entrée) les températures ne sont pas égales, on peut échanger de la chaleur.

Dans le deuxième cas, cas co-courant le fluide très chaud arrive proche du très froid et échange beaucoup de chaleur. A la fin les deux fluides sont à la température d’équilibre et n’échange plus rien.

A l’aide de ce genre de comparaison vous pourrez montrer que :

• vous avez compris qu’il s’agit d’un système différent et meilleur que le système co-courant
• vous avez pu éviter de vous faire prendre au piège avec une explication bancale

Ne pas improviser des définitions si vous avez des problèmes de clarté, si vous avez un schéma en tête, dessinez le.

Nous venons de passer 5 minutes à réfléchir à la température dans un système, nous sommes tenté de répondre :

• "Bah on va régler la température non ?"

Mais c’est une question qui se positionne comme un petit piège. Car en réalité on ne va pas s’amuser à chauffer ou refroidir certains liquide. Ici on va surtout s’assurer du débit d’eau froide qui lui réglera finalement la température.

C’est bien plus coûteux en énergie de refroidir (perte par dissipation thermique, achat de materiel) de l’eau froide qui circule dans un tuyaux. Alors que nous avons a disposition de toute façon :

• Une pompe qui achemine l’eau

On est obligé d’avoir quelque chose qui envoie de l’eau dans les tuyau autant simplement régler cet appareil pour simplement mettre $2$ fois plus d’eau dans les tuyaux.

• Grandeur réglée : Température actuelle
• Grandeur réglante : Le débit d’eau froide
• Valeur de la consigne : Température finale qui nous satisfasse

B - Maintien en température de la cuve de fermentation

Là on essaye de vous aider au maximum avec un document 3 qui vous donne la formule d’obtention de $\Phi$ :

L’ordre de $\mathrm{430\;W}$ est clairement respectés.

Maintenant le sens de transfert il faut bien comprendre que ce dont on parle quand on parle de chaleur c’est d’agitation microscopique. Plus la température est élevé plus les molécules sont agités, c’est ça la notion de température. La chaleur est la transmission de cette agitation : un peu comme si nous étions dans une foule si tout le monde se remue de droite un gauche on est un peu forcer de faire pareil. Quand on a un liquide chaud (très agité à l’échelle microscopique) face à un liquide froid, c’est l’agitation qui va être contagieuse.

Par exemple la phrase "Ferme la fenêtre tu vas faire rentrer le froid" n’a pas de sens, puisque c’est la chaleur qui se diffuse et se partage.

Tout ça pour dire : les transfert s’effectue de la source la plus chaude vers la source la plus froide.

Pour l’histoire de la fermentation nous avons besoin de refroidir le moût à $\mathrm{9,0°C}$ car il est à une température trop élevé pour que la fermentation se déroule selon le protocole de la conception de la bière qui est mis en jeu.

Le fluide caloporteur est déjà placé profitons en. On sait qu’on doit acheminé de l’électricité dans au moins l’un des appareil de la liste puisque nous pouvons lire : $\mathrm{W_{élec}}$. C’est un bel indice.

Un bassin d’eau ça consomme de l’électricité ? Pas terrible hein ? Pourquoi pas plutot le compresseur qui justement est une pompe qui achemine les fluides. Ça c’est sur que c’est un appareil qui fonctionne à l’électricité.

Maintenant il nous reste les positions :

Déjà celui qui réchauffe tout le système, c’est le plus grand. Qui englobe tout. La pièce en elle-même réchauffe forcément les appareils.

En ayant l’œil sur le document 3, on voit qu’après la cuve ce qui transporte la chaleur c’est le fluide caloporteur qui possède un sens de circulation. Et il va même passer par le compresseur avant le bassin d’eau. On sait exactement comment le circuit se boucle ainsi :

Sachant que $\mathrm{t = 1\;s}$ :

Nous avons tout à l’heure fait un schéma complet des arrivés et des sorties. On sait que $\mathrm{|Q_2|}$ ne dépend que de $\mathrm{|Q_1|}$… Donc on arrive, parce que la température est constante (pas d’évolution) :

Avec pour rappel :

Sur notre schéma, juste avant le fluide caloporteur nous avions $\mathrm{Q_2}$ :

Nous avons déjà croisé cet "énergie électrique consommée par la machine", c’était $\mathrm{W_{élec}}$ :

Maintenant que nous avons tout en main il suffit de réarranger :

L’ordre de $\mathrm{200\;J}$ est clairement respectés.

Commençons par le plus simple, combien d’heure ça fait, $7$ jours ?

Maintenant on va devoir comprendre combien de $\mathrm{Joules}$ notre machine consomme pour une certaine durée :

Il faut donc multiplier nos $\mathrm{204.3\;J}$ par le temps que l’on va exposer notre appareil :

Donc nous avons converti les joules en watts. Il suffit maintenant d’obtenir des kilowatts par heure :

Produit en croix :

Soit près de $5\;€$ la semaine. A peine plus cher qu’un Döner Kebab :p.

Lors d’un processus de fermentation avec des levures, nous avons l’obligation de respecter des normes. Si le protocole à été conçu de cette manière c’est que le maintiens à $\mathrm{9,0°C}$ été primordiale pour une fermentation contrôlée. De plus le système est largement peu onéreux… près de $5\;€$ la semaine ça reste viable sur le long terme !

Partie 3 - Le conditionnement de la bière

Pour répondre à cette première question les deux documents sont obligatoire. Mais vous aurez en plus une équation à retrouver.

Dans le document $4$ vous trouvez la fréquence : $\mathrm{\nu = 4.75 \cdot 10^{14}\;Hz}$ Et vous devez savoir que l’unité réel (SI) des Hertz ($\mathrm{Hz}$) est en réalité : $\mathrm{s^{-1}}$

De cette fréquence nous allons devoir extirper une longueur d’onde ($\mathrm{nm}$) donc il va falloir convertir des $\mathrm{s^{-1}}$ en $\mathrm{nm}$ à l’aide de la célérité ($\mathrm{c}$) donné à la fin du document $5$.

Ce genre d’équation, je vous rassure, vous pouvez la retrouver simplement si vous ne vous en souvenez pas parfaitement. Via l’homogénéité des unités :

Bon vous le voyez il faut que la longueur d’onde néanmoins soit converti de $\mathrm{m}$ à $\mathrm{nm}$ à la fin de l’opération suivante :

Si l’on compare dans le tableau du document $5$ à quel couleur cela correspond, c’est un laser rouge.

Le principe d’une fibre optique et d’obtenir un faisceau guidé, qui soit monochromatique, à travers un milieu permettant des réflexions (ici le $\mathrm{Plexiglass^{(R)}}$ aussi connu sous le nom de $\text{polyméthacrylate de méthyle}$). Avec pour rayon incident un angle particulier au delà de la valeur limite, angle rasant, cela permet d’éliminer les phénomènes de réfraction, seule la réflexion est possible au sein de la gaine.

Donc l’information transporté par le laser est transporté à la vitesse de la lumière sans perte de données (réfraction) et est réfléchis instantanément¹ au point d’arrivé.

On utilisa la très célèbre formule de Descartes : $\mathrm{n_{1}\sin (i_1) = n_{2} \sin (i_2)}$ (en faisant attention à utilisé le mode "dégrée" de votre calculette.)

• A l’interface fibre/air on a $\mathrm{i_{lim} = arcsin \left( \dfrac{1}{1,48} \right)} = 42.5°$.
• A l’interface fibre/air on a $\mathrm{i_{lim} = arcsin \left( \dfrac{1,34}{1,48} \right)} = 64.9°$.

$\mathrm{r}$ étant plus petit que l’angle d’incidence limite $64.9°$; il y a bien une réfraction en sortie de la fibre. Il n’y a pas de réflexion totale ici car $\alpha$ est plus petit que l’angle d’incidence limite $64.9°$.

Mon collègue, Holosmos, a proposé aujourd’hui de publier des corrections d’exercices de mathématiques. Cela m’a donné une idée, merci à lui pour l’initiative intéressante.

Les autres parties seront disponibles ici même au fur et à mesure.

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