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Les newtons-mètres sont-ils des joules ?

Curiosité dans le monde des unités

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Prenez deux grandeurs conceptuellement distinctes : le couple et l’énergie. Le couple est l’analogue d’une force dans un mouvement de rotation. L’énergie est quelque chose de tout à fait différent ; dans les grandes lignes, elle mesure la capacité d’un système à changer (de température, de vitesse, etc.).

Dans les équations de la physique, le couple et l’énergie n’occupent pas des places interchangeables. On rencontre le couple dans les calculs d’accélération angulaire par exemple, alors que l’énergie se rencontre souvent lorsqu’on fait le bilan de diverses transformations.

Pourtant, ces deux grandeurs, le couple et l’énergie, ont la même unité ! On peut montrer cela simplement en les mettant sous forme canonique à l’aide des unités de base du SI.

  • Le couple est exprimé en newtons-mètres (Nm), ce qui correspond à des kg.m2.s-2.1
  • L’énergie s’exprime en joules (J), ce qui correspond aussi à des kg.m2.s-2.2

Alors, où est la différence ?

Déjà, le couple est vectoriel, et l’énergie est scalaire. En effet, le couple est très lié à la notion de moment d’une force, dont la définition fait intervenir un produit vectoriel, et donc le couple se retrouve être un vecteur. L’énergie, quant à elle, est scalaire par nature, et se retrouve comme résultat de produits scalaires.

Imaginez maintenant que l’on décide d’utiliser deux mètres différents pour deux directions orthogonales de l’espace. Je les nommerais mx et my. Un produit scalaire impliquant un vecteur aligné selon l’axe des $x$ ne verra que des mx dans son résultat, puisque les composantes orthogonales en my disparaîtront lors du calcul. À l’inverse, un produit vectoriel impliquant un vecteur aligné selon l’axe des $x$ verra nécessairement un produit mx.my dans son résultat, parce que les composantes colinéaires disparaîtront lors du calcul.

Si on joue au jeu des unités différentes, on a finalement quelque chose du type :

  • Le couple s’exprime en kg.mx.my.s-2.
  • L’énergie s’exprime en kg.mx2.s-2.

Quelques compléments sur le sujet :


  1. On peut déduire cela du PFD pour les objets en rotation. 

  2. On peut déduire cela de l’expression de l’énergie cinétique. 



7 commentaires

Un peu dans le même genre, on a dans le domaine où je bosse des surfaces spécifiques. Il s’agit de la quantité de surface dans un certain volume de matière ; autrement dit, c’est en $m^2/m^3$. Mes collègues n’apprécient pas toujours que je fasse la « simplification » de mettre ça en $m^{-1}$. :P

Hier, dans le parc, j’ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Le truc semble être que les unités ne définissent pas tout.

(Vive la 42ème page!) いろはにほへと ちりぬるを わかよたれそ つねならむ うゐのおくやま けふこえて あさきゆめみし ゑひもせす

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Dans le même genre aussi, j’avais lu un what if de XKCD qui faisait remarquer qu’on indiquait la consommation d’une voiture en L/100 km.

Sauf que ce n’est pas vraiment une unité, l’unité de consommation reste le litre (tu consommes autre chose qu’un volume de carburant) ? Dont la valeur de référence est calculée (ou extrapolée) sur 100 km de conduite. Ce n’est pas une division (qui pourrait autoriser ce genre de raccourcis dans l’établissement de la concordances des unités).

On est donc très loin de subtilité exprimée dans ce journal où le raccourcis semble tentant car elle est possible. Si ce n’est qu’on parle d’unité comparable exprimant quelque chose de différent.

Amateur de Logiciel Libre et de la distribution GNU/Linux Fedora. #JeSuisArius

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Dans le même genre aussi, j’avais lu un what if de XKCD qui faisait remarquer qu’on indiquait la consommation d’une voiture en L/100 km. Autrement dit (à un facteur près), en m².

melepe

Et juste pour rajouter le lien vers le-dit billet : https://what-if.xkcd.com/11/

Dans le même genre aussi, j’avais lu un what if de XKCD qui faisait remarquer qu’on indiquait la consommation d’une voiture en L/100 km. Autrement dit (à un facteur près), en m².

melepe

Si tu définis la consommation d’une voiture comme la section que devrait avoir une seringue que la voiture pousserait au fur et à mesure du parcours pour s’alimenter en essence, c’est cohérent.

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Le truc semble être que les unités ne définissent pas tout.

Ozmox

Ou alors qu’il est nécessaire de décliner des unités en plusieurs catégories pour avoir une définition.

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