Incertitude

Bonjour,

Je cherche à montrer la propriété suivante :

Soit $P$ une propriété fonction de deux variables réelles $x$ et $y$ : $P = f(x, y)$. On effectue une mesure des deux variables et on obtient $x_0$ et $y_0$ pour $x$ et $y$ respectivement, avec les incertitudes $\Delta x_0$ et $\Delta y_0$.

Ainsi $P_0 = f(x_0, y_0)$.

On a alors l’incertitude $\Delta P_0 = (\dfrac{\partial f}{\partial x})_{x = x_0, y = y_0} \Delta x_0 + (\dfrac{\partial f}{\partial y})_{x = x_0, y = y_0} \Delta y_0$.

Pour ce faire, je développe $f$ à l’ordre 1 en $(x_0, y_0)$.

D’une part, j’ai $\displaystyle f(x_0 + \Delta x_0, y_0) - f(x_0, y_0) = (\dfrac{\partial f}{\partial x})_{x = x_0, y = y_0} \Delta x_0 + o(\Delta x_0)$.

D’autre part, j’ai $\displaystyle f(x_0, y_0 + \Delta y_0) - f(x_0, y_0) = (\dfrac{\partial f}{\partial y})_{x = x_0, y = y_0} \Delta y_0 + o(\Delta y_0)$.

Mais je n’arrive pas à conclure, j’obtiens $(\dfrac{\partial f}{\partial x})_{x = x_0, y = y_0} \Delta x_0 + (\dfrac{\partial f}{\partial y})_{x = x_0, y = y_0} \Delta y_0 = f(x_0 + \Delta x_0, y_0) + f(x_0, y_0 + \Delta y_0) - 2f(x_0, y_0)$…

Normalement, $\Delta P_0 = f(x_0 + \Delta x_0, y_0 + \Delta y_0) - f(x_0, y_0)$…

Merci de votre aide.

Tu as trouvé où cette formule ? Elle est fausse.

Tu as le développement de Taylor de $f$ (réelle) autour de $x_0,y_0$ à l’ordre 1 :

Salut, désolé pour la réponse tardive.

@Freedom, si tu parles de la formule que je cherche à démontrer, c’est celle de mon cours.

@Holosmos, merci pour ta réponse qui semble m’avoir fortement aidée!

Donc j’ai $\displaystyle f(x_0 + \Delta x_0, y_0) - f(x_0, y_0) = (\dfrac{\partial f}{\partial x})_{x = x_0, y = y_0} \Delta x_0 + o(\Delta x_0)$, puis :

$f(x_0+\Delta x_0,y_0 + \Delta y_0) - f(x_0+\Delta x_0, y_0) = (\dfrac{\partial f}{\partial y})_{x=x_0+\Delta x_0,y=y_0} \Delta y_0 + o(\Delta y_0)$, d’où :

$(\dfrac{\partial f}{\partial x})_{x = x_0, y = y_0} \Delta x_0 + (\dfrac{\partial f}{\partial y})_{x=x_0+\Delta x_0,y=y_0} \Delta y_0 = f(x_0+\Delta x_0,y_0 + \Delta y_0) - f(x_0, y_0)$ en négligeant les $o$?

Mais si comme l’indique Freedom mes formules sont fausses…

En fait j’utilise que :

$(\dfrac{\partial f}{\partial y})_{x=x_0+\Delta x_0,y=y_0} = \dfrac{f(x_0+\Delta x_0,y_0 + \Delta y_0) - f(x_0+\Delta x_0, y_0)}{\Delta y_0} + \epsilon(\Delta y_0)$ où $\epsilon(\Delta y_0)$ tend vers $0$ avec $\Delta y_0$.

Tu ne prends pas au point $x=x_0,y=y_0$ mais au point $x=x_0+\Delta x_0,y=y_0$.

Sinon, la formule est peut-être fausse par rapport au cadre, mais le calcul est juste.

Si je reprends le message de @Freedom, il faut en fait s’intéresser à

Pour faire ça, il faut regarder la différentielle, et non seulement la dérivée partielle en chacune des variables :

et en développant la différentielle, on obtient bien :

J’ai oublié de modifier cela car j’ai fais un bête ctrl-c/ctrl-v!

Merci!

Comment ton cours (de physique je suppose) définit l’incertitude ?

Dans mon cours (de méthodologie scientifique ), il est écrit que l’erreur systématique est négligée et que l’incertitude absolue $\Delta x$ sur une mesure est une mesure de l’erreur commise.

Ainsi si on mesure $x_0$ avec une incertitude $\Delta x_0$, la mesure exacte $x_e$ est très probablement comprise dans l’intervalle $[x_0 - \Delta x_0, x_0 + \Delta x_0]$.

Ouais enfin très probablement ça doit signifier à 1 $\sigma$ ce qui est pas énorme non plus (60% si je me rappelle bien?)