Lucas Vienne : Géométries affine et euclidienne, Quadriques

Bonjour à tous !

J’ai un peu de mal à comprendre une démonstration dans le chapitre sur les sous-espaces affines que je lis actuellement.

1. Voici la propriété qui est démontrée, pour commencer. $\forall O \in \mu, \mu = {O + v / v \in V}$ avec $\mu$ le sous-ensemble de points de l’ensemble de points de l’espace affine et $V$ le sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel de l’espace affine.

2. La démonstration est la suivante : Si $O \in \mu$ ET $O' \in \mu$, $\exists w \in V / O' = O + w$, donc $\forall M = O + v \in \mu (v \in V)$, $M = O' -w + v$ est dans $O' + V$ ; ceci prouve l’inclusion $O + V \subset O' + V$, mais par symétrie l’autre inclusion est aussi vraie, d’où l’égalité $\mu = O + V = O' + V$.

Bon je me suis arrêté au tout début de la démonstration : déjà j’ai un problème ! Donc ça, ça me pose souci : Si $O \in \mu$ ET $O' \in \mu$, $\exists v \in V / O' = O + w$

Intuitivement je suis d’accord avec ça, mais je ne supporte pas de ne pas être sûr de moi, de ne pas avoir trouvé au moins un raisonnement qui me permette de savoir que je ne comprends pas mal ce qu’on m’explique…

Pour le moment, voici mon raisonnement pour tenter de me prouver que cela est correct, assez bancal et j’explique pourquoi un peu loin loin. Un espace-affine est muni d’une application $\phi : \epsilon \times \epsilon \to E$ (avec $\epsilon$ l’ensemble des points et $E$ l’espace vectoriel). $\phi$ a cette propriété : $\forall(a \in \epsilon, b \in E), \exists unUnique(c \in \epsilon) / c = a + b$. Un sous-espace affine est un espace affine, un sous-espace vectoriel est donc l’espace vectoriel du sous-espace affine et il en est de même pour le sous-ensemble de points. Donc pour un sous-espace affine, ce que je viens de dire est également vrai. DONC : effectivement, Si $O \in \mu$ ET $O' \in \mu$, $\exists w \in V / O' = O + w$.

Pourquoi mon raisonnement est-il bancal ? Parce que si on met en pratique le "Si $O \in \mu$ ET $O' \in \mu$, $\exists w \in V / O' = O + w$", on peut très bien choisir deux points de $\mu$ pour les quels un tel vecteur n’existe pas, non ? Donc ça c’est genre à l’exécution. Par contre à la déclaration y a pas de souci, puisque ces deux points sont bien choisis pour faire partie de $\mu$.

Hello,

J’ai l’impression que ton problème est plus profond que le détail sur lequel tu t’es arrêté…

Parce que si on met en pratique le "Si $O \in \mu$ ET $O' \in \mu$, $\exists w \in V / O' = O + w$", on peut très bien choisir deux points de $\mu$ pour les quels un tel vecteur n’existe pas, non ? Donc ça c’est genre à l’exécution. Par contre à la déclaration y a pas de souci, puisque ces deux points sont bien choisis pour faire partie de $\mu$.

Tu fais une distinction qui n’existe pas en maths entre "déclaration" et "exécution". Une proposition vraie est vraie tout court, elle n’est pas un coup vraie un coup fausse (évidemment elle vient avec son lot d’hypothèses et de définition des objets utilisés).

Si la proposition "Si $O \in \mu$ ET $O' \in \mu$, $\exists w \in V / O' = O + w$" est vraie, alors non, tu ne peux pas choisir deux points de $\mu$ tels que $w$ n’existe pas. La proposition dit justement que c’est impossible… Si tu arrives à trouver un couple de points tels que $w$ n’existe pas, ce couple constitue un contre-exemple à ta proposition, montrant alors qu’elle est fausse.

Non mais j’ai pas voulu écrire ce que j’ai écrit (je me suis d’ailleurs aperçu que je me contredisais, mais il était tard - 23H30 je crois - et j’avais la flemme de réfléchir davantage à comment exprimer le souci auquel je pensais… je comptais le faire ce soir, mais oui j’avoue que c’était bête de ma part de poster le topic en l’état).

Bon au final je ne me souviens même plus du problème que je rencontrais (car je marche toujours à l’intuition). Par contre je me souviens bien de la solution que j’ai finalement trouvée hier dans mon lit

Partant de la définition de $\phi$, on sait que Si $O \in \mu$ ET $O' \in \mu, \exists w = \overrightarrow{OO}'$ (car $\phi$ est une application). Toujours grâce à la définition de $\phi$, $\forall (P, v) \in \epsilon \times E, \exists unique(Q \in \epsilon) / v = \overrightarrow{PQ}$. Donc pour $(w = \overrightarrow{OO'}, O'), \exists unique(O) / w = \overrightarrow{OO'}$. L’auteur, dans la définition de $\phi$, indique que cet unique point $O$ s’écrit également $O = w + O'$. Bon je trouve ça trop facile de passer d’une écriture à une autre sans donner de preuve mathématique, donc j’y ai réfléchi… La translation $t_v$ est une application définie par : $\forall v \in E, t_v : \epsilon \to \epsilon$ et $t_v(A) = B + v$. Donc on est sûrs que pour $O \in \epsilon$ et $w \in E$, $t_w(O) = C + w$. Or on venait de dire qu’il $\exists unique(O') / w = \overrightarrow{OO'}$ donc $C = O'$.

CQFD

Bon ça peut vous sembler n’importe quoi d’être si pointilleux pour aussi peu mais je suis comme ça

Ta notation est vraiment assez douteuse, et te conduit certainement à une partie de tes confusions. Et si tu tiens vraiment à utiliser des symboles, c’est $\exists!$, et pas $\exists unique$. Utiliser $\forall P/Q$ est vraiment une mauvaise idée aussi (cc les quotients). De même, tu veux certainement utiliser $\mathcal{E}$ plutôt que $\epsilon$.

car $ϕ$ est une application

Non. Mais c’est vrai qu’un tel vecteur existe, par contre.

La translation $t_v$ est une application définie par : $\forall v \in E, t_v \colon \epsilon \to \epsilon$ et $t_v(A) = B + v$.

Non. Pour tout $v \in E$, la translation (par $v$) est donnée par $t_v \colon \mathcal{E} \to \mathcal{E}, A \mapsto A + v$. Et je ne sais pas d’où tu sors ton $B+v$, et tu as l’air de l’utiliser plus loin, mais ça ne fait juste pas sens.

Je ne comprends juste pas ce que tu fais après. J’ai l’impression que tu veux argumenter par unicité du translaté, mais tu tournes en rond.

Je ne connais pas ce livre, mais, à voir ce que tu écris dans ton dernier message, j’ai l’impression qu’il pose ça comme une notation.

Partant de la définition de $\phi$, on sait que Si $O \in \mu$ ET $O' \in \mu, \exists w = \overrightarrow{OO}'$ (car $\phi$ est une application)

Non. Mais c’est vrai qu’un tel vecteur existe, par contre.

L’auteur définit $\phi$ comme étant une application définie sur $\epsilon \times \epsilon$ vers $E$ et elle est notée : $\phi(P, Q) = \overrightarrow{PQ}$. Donc dès que tu prends deux points, t’es sûr et certain d’avoir un vecteur constitué de ces deux points par définition d’une application, puisque cette dernière est partout définie. Donc pourquoi tu dis "non" ?

Non. Pour tout v∈Ev∈E, la translation (par vv) est donnée par tv:→,A↦A+vtv:E→E,A↦A+v. Et je ne sais pas d’où tu sors ton B+vB+v, et tu as l’air de l’utiliser plus loin, mais ça ne fait juste pas sens.

Oh bah tu viens de trouver le truc qui me titillait depuis le début. J’ai fait une erreur d’étourderie en introduisant un nouveau point dans la translation (qui est le point $B$). Bien sûr que ça n’a aucun sens ! Sauf que je ne m’en étais jamais aperçu jusque-là omg…

Je dis non, le fait que $\phi$ est une application n’est pas la raison pour laquelle c’est vrai.

Donc dès que tu prends deux points, t’es sûr et certain d’avoir

À nouveau, ce n’est pas parce qu’elle s’appelle $\phi$, qu’elle va de $\mathcal{E} \times \mathcal{E}$ à $E$, et qu’elle est notée $\overrightarrow{PQ}$ que tu es sûr que ça soit vrai, mais c’est par les axiomes imposés sur $\phi$.

Je pense sincèrement que tu devrais revoir quelques bases (sur les EV, par exemple) avant de t’attaquer à la géométrie affine.

Tu me donnes l’impression de chipoter. Le principe de toute application, c’est que si tu prends n’importe quel élément de départ, tu es sûr d’avoir un élément d’arrivée…

Dans notre situation, si tu prends n’importe quel couple de points, tu es sûr d’avoir un vecteur…

Le fait que ce soit une « d’avoir un vecteur constitué de ces deux points » n’est absolument pas vrai en général (enfin, ça ne veut pas dire grand chose). Prend genre $\phi \colon (A, B) \mapsto 0$.

Effectivement, je t’ai lu un peu rapidement la première fois quant à ton argumentation, mais ça a montré que il y avait tout de même des problèmes à ce niveau. Comme je disais dans mon premier message, tu manques vraiment de clarté dans ta rédaction. Comme je l’ai déjà dit aussi, il y a plusieurs façons de définir les espaces affines, et sans plus de détails, on ne peut pas te dire grand chose, sinon que ton raisonnement est au mieux pas clair, au pire faux.

Bah c’est le vecteur nul