Algèbre linéaire

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Auteur du sujet

Bonjour, je me pose une question par rapport à un exercice :

La famille de vecteurs de $\mathbb R^3$ $B = \{(0, 1, -1), (1, 2, -1), (0, 2, 1), (4, 6, 1) \}$ est-elle libre ou liée? Donnez une base du sous-espace vectoriel engendré par cette famille.

Première question : on remarque d’emblée qu’il faut résoudre un système de trois équations à quatre inconnues, donc il ne peut y avoir une unique solution, la famille est liée.

Deuxième question : D’après le théorème de la base extraite, un vecteur s’exprime comme CL des autres, puis si j’en vire un j’obtient une famille génératrice de cardinal 3. J’ai donc une base.

C’est OK? Merci d’avance.

"オーレン石井!勝負はまだついちゃいないよ!" - Kill Bill vol. 1

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Pour la première question tu peux juste dire que $\mathbb{R}^3$ est de dimension $3$ donc ces $4$ vecteurs sont liés.

Pour la deuxième question c’est faux. Il faut d’abord que tu prouves que ces $4$ vecteurs génèrent $\mathbb{R}^3$ pour utiliser le théorème de la base extraite. Sinon je peux prendre : $\{(1,0,0), (1,0,0), (1,0,0), (1,0,0)\}$ et il me semble difficile d’en extraire une base.

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En effet, l’argument de dimension est plus élégant pour répondre à la première question. Pour la seconde, je pense que le plus simple est de prendre trois vecteurs (bien choisis) sur les quatre et de montrer que ça donne une famille libre (les trois premiers ont une belle tête de famille libre).

Plus on apprend, et, euh… Plus on apprend.

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Auteur du sujet

Merci pour vos réponses.

C’est bizarre, quand je lis "sous-espaces vectoriels engendré par cette famille", j’entends $\text{Vect}<(0, 1, -1), (1, 2, -1), (0, 2, 1), (4, 6, 1)>$ donc une famille génératrice dont on peut extraire une base.

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Oui, c’est bien ça, tu sais que tu peux extraire une base du vect, mais tu ne sais pas quels vecteurs prendre et combien, car tu ne connais a priori pas la dimension du vect. Quand tu dis que tu obtiens une famille génératrice de cardinal 3, il faut vérifier que c’est le cas (et ici comme tu es dans $\mathbb{R}^3$ il suffit de vérifier qu’elle est libre)

Autrement dit, le théorème te dit que tu peux extraire une base de ta famille, mais il ne te la donne pas et ne te sort pas "par magie" la dimension de l’espace.

Édité par mehdidou99

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Auteur du sujet

Bon, j’ai montré que la famille est libre ce qui conclut.

Maintenant, je réfléchi à une solution alternative et j’aimerais avoir votre avis. Désolé si je suis long à la compréhension.

Donc par résolution d’un système très simple, je trouve que $(4, 6, 3) = -\frac{16}{3}(0, 1, -1) + 4(1, 2, -1) + \frac{5}{3}(0, 2, 1)$ d’où $(4, 6, 3) \in \text{Vect}<(0, 1, -1), (1, 2, -1), (0, 2, 1)>$.

Aussi, puis-je conclure par le théorème de la base extraite?

Fichtre! Ce n’est pas la base extraite, qui en est un corollaire, c’est celui qui dit que l’on garde une famille génératrice si on ôte un vecteur qui s’exprime comme CL des autres vecteurs de la famille. Or ici, une fois notre vecteur ôté, on a une famille génératrice de $\mathbb R^3$ de cardinal 3, ce qui semble conclure, non?

Édité par Osimoquus

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Non, toujours pas, cela montre que la famille est liée, mais en aucun cas ne prouve que tu peux écrire TOUT vecteur de $\mathbb{R}^3$ comme une combinaison linéaire de tes trois vecteurs. Tu n’y couperas pas, le théorème ne te dira jamais rien de plus que "il existe une sous-famille base du vect". Par contre, ta méthode se recycle si tu y tiens : si tu remplaces (4,6,3) par (x, y,z) et que tu trouves bien que tu peux écrire tout vecteur de cette forme avec tes trois vecteurs, alors tu as montré que c’est une base. Mais la liberté reste, comme souvent, plus simple.

EDIT : Enoncé simple du théorème : "Soit E un K-espace vectoriel qui admet une famille génératrice finie G. Alors on peut extraire de G une base de E."

On voit bien que c’est un théorème d’existence, qui ne te donne pas une base explicite.

A titre de comparaison, ce que tu veux faire avec ton théorème, c’est comme si tu essayais d’utiliser du TVI pour montrer à partir de f(a) < 0 et f(b) > 0 que $f(\frac{a+b}{2}) = 0$. Avec cette comparaison, j’espère que tu vois bien que tu n’y arriveras jamais. :)

Édité par mehdidou99

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Auteur du sujet

Non, toujours pas, cela montre que la famille est liée, mais en aucun cas ne prouve que tu peux écrire TOUT vecteur de $\mathbb R^3$ comme une combinaison linéaire de tes trois vecteurs.

Certes, c’est l’argument qui me fallait. :-)

Bien à toi!

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Regarde l’exemple du TVI que je viens d’ajouter dans mon EDIT, il te montrera bien pourquoi tu ne peux aboutir avec le théorème de la base extraite. Et du coup, ça vaut pour tous les "théorèmes d’existence" ! (Taylor-Lagrange, par exemple)

Édité par mehdidou99

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Auteur du sujet

Dernière question, si la famille en question ($B$) était libre, alors on pourrait directement conclure pour trouver une base du sous-espace vectoriel engendré par cette famille?

Autrement dit, $B$ serait une base du sous-espace, qui serait alors de dimension 4 donc confondu avec $\mathbb R^4$?

"オーレン石井!勝負はまだついちゃいないよ!" - Kill Bill vol. 1

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Auteur du sujet

Donc si par exemple j’ai une famille libre (u, v) (u, v dans R^3), je peux dire que c’est une base du sous-espace vectoriel qu’elle engendre, qui est donc de dimension 2?

Édité par Osimoquus

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Yes ! Car elle est par définition génératrice de son sous-espace engendré, et elle est libre, donc par définition d’une base d’un espace vectoriel, c’en est une. Pour le coup, même pas besoin de théorème !

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T’as rien vu encore, tu vas t’émerveiller quand tu découvriras ce qu’on peut vraiment en faire. ;) T’en fais pour le plaisir ou ça fait partie de tes cours ?

Édité par mehdidou99

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