Algèbre linéaire

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour, je me pose une question par rapport à un exercice :

La famille de vecteurs de $\mathbb R^3$ $B = \{(0, 1, -1), (1, 2, -1), (0, 2, 1), (4, 6, 1) \}$ est-elle libre ou liée? Donnez une base du sous-espace vectoriel engendré par cette famille.

Première question : on remarque d’emblée qu’il faut résoudre un système de trois équations à quatre inconnues, donc il ne peut y avoir une unique solution, la famille est liée.

Deuxième question : D’après le théorème de la base extraite, un vecteur s’exprime comme CL des autres, puis si j’en vire un j’obtient une famille génératrice de cardinal 3. J’ai donc une base.

C’est OK? Merci d’avance.

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Pour la première question tu peux juste dire que $\mathbb{R}^3$ est de dimension $3$ donc ces $4$ vecteurs sont liés.

Pour la deuxième question c’est faux. Il faut d’abord que tu prouves que ces $4$ vecteurs génèrent $\mathbb{R}^3$ pour utiliser le théorème de la base extraite. Sinon je peux prendre : $\{(1,0,0), (1,0,0), (1,0,0), (1,0,0)\}$ et il me semble difficile d’en extraire une base.

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Oui, c’est bien ça, tu sais que tu peux extraire une base du vect, mais tu ne sais pas quels vecteurs prendre et combien, car tu ne connais a priori pas la dimension du vect. Quand tu dis que tu obtiens une famille génératrice de cardinal 3, il faut vérifier que c’est le cas (et ici comme tu es dans $\mathbb{R}^3$ il suffit de vérifier qu’elle est libre)

Autrement dit, le théorème te dit que tu peux extraire une base de ta famille, mais il ne te la donne pas et ne te sort pas "par magie" la dimension de l’espace.

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Bon, j’ai montré que la famille est libre ce qui conclut.

Maintenant, je réfléchi à une solution alternative et j’aimerais avoir votre avis. Désolé si je suis long à la compréhension.

Donc par résolution d’un système très simple, je trouve que $(4, 6, 3) = -\frac{16}{3}(0, 1, -1) + 4(1, 2, -1) + \frac{5}{3}(0, 2, 1)$ d’où $(4, 6, 3) \in \text{Vect}<(0, 1, -1), (1, 2, -1), (0, 2, 1)>$.

Aussi, puis-je conclure par le théorème de la base extraite?

Fichtre! Ce n’est pas la base extraite, qui en est un corollaire, c’est celui qui dit que l’on garde une famille génératrice si on ôte un vecteur qui s’exprime comme CL des autres vecteurs de la famille. Or ici, une fois notre vecteur ôté, on a une famille génératrice de $\mathbb R^3$ de cardinal 3, ce qui semble conclure, non?

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Non, toujours pas, cela montre que la famille est liée, mais en aucun cas ne prouve que tu peux écrire TOUT vecteur de $\mathbb{R}^3$ comme une combinaison linéaire de tes trois vecteurs. Tu n’y couperas pas, le théorème ne te dira jamais rien de plus que "il existe une sous-famille base du vect". Par contre, ta méthode se recycle si tu y tiens : si tu remplaces (4,6,3) par (x, y,z) et que tu trouves bien que tu peux écrire tout vecteur de cette forme avec tes trois vecteurs, alors tu as montré que c’est une base. Mais la liberté reste, comme souvent, plus simple.

EDIT : Enoncé simple du théorème : "Soit E un K-espace vectoriel qui admet une famille génératrice finie G. Alors on peut extraire de G une base de E."

On voit bien que c’est un théorème d’existence, qui ne te donne pas une base explicite.

A titre de comparaison, ce que tu veux faire avec ton théorème, c’est comme si tu essayais d’utiliser du TVI pour montrer à partir de f(a) < 0 et f(b) > 0 que $f(\frac{a+b}{2}) = 0$. Avec cette comparaison, j’espère que tu vois bien que tu n’y arriveras jamais. :)

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Dernière question, si la famille en question ($B$) était libre, alors on pourrait directement conclure pour trouver une base du sous-espace vectoriel engendré par cette famille?

Autrement dit, $B$ serait une base du sous-espace, qui serait alors de dimension 4 donc confondu avec $\mathbb R^4$?

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