Est-ce que tu admets qu’on sait définir $\sum_{j\in J} a_j$ où $J$ est un ensemble fini et les $a_j$ vivent dans un ensemble « gentil » ? (ici dans $\mathbf{R}$)
Quand on veut lire la notation $\sum_{1\le i_1< i_2< \ldots< i_k \le n}$ (je pense que ton $i$ est une faute de frappe ?), on commence par se demander quelles sont les variables définies "en dehors de la somme" ; ici, seul $n$ l’est, donc, au cours de la somme, les "indices de boucle" sont $i_1, \ldots, i_k$. C’est donc un raccourci pour dire :
$$\sum_{1\le i_1< i_2< \ldots i_k \le n}=\sum_{j\in J_{n}}$$
avec $J_{n}=\{(i_1, \ldots, i_k)\in \{1,\ldots, n\}\;|\; 1\le i_1< i_2\ldots < i_k\le n \}$
Bon c’est assez pénible à écrire (j’espère que ça te montre pourquoi c’est intéressant d’utiliser la notation avec les inégalités), mais avec les mains ça veut juste dire : on fait la somme de tous les termes de la somme, où $(i_1, \ldots, i_k)$ décrit l’ensemble des $k$-uplets vérifiant les inégalités. En prenant un exemple plus simple :
$$\sum_{1\le i\le j\le 2} a_{ij}=a_{11}+a_{12}+a_{22}$$
Soit dit en passant la notation est toujours valable pour $k=1$, donc on pourrait carrément écrire :
$$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\sum_{1\le i_1<\ldots< i_k\le n} P(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})$$
ÉDIT : Tu peux vérifier pour t’amuser que c’est équivalent à cette forme de la formule du crible :
$$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{\underset{I\neq \emptyset}{I\subseteq [n]}}(-1)^{|I|+1} P\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)$$
T’as un vrai exemple d’utilisation ? (parce que là je comprends pas comment le 
