Notation 'd' et limite

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Auteur du sujet

Salut salut !

Est-il vrai que :

$$\mathrm dx := \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x$$

C’est ce que j’ai toujours pensé en tout cas :-°

Le  « $:=$ »  est une égalité par définition.

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Non, ce n’est pas le cas.

Pour ta limite on a juste :

$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x = 0$$

Donc ça ne veut pas dire grand chose.

Je m’étais pas mal posé la question, sur la notation $\mathrm{d}x$ (et blo yhg m’a bien aidé :) ). Tu peux la voir comme une $1$-forme, je te laisse te renseigner sur cette idée (sur ce site cette question à déjà été posée) mais en gros l’idée c’est d’integrer un champ de vecteurs au lieu d’un champ de nombres et c’est pratique lorsque tu intègre dans des dimensions supérieurs essentiellement parce-que ça permet de s’affranchir de la façon dont tu parcours une courbe sur une surface (intégrales curvilignes). Tu peux donc le voir comme : « quotienter par la relation de parametrisation », je trouve que c’est le meilleur moyen de comprendre cette notion quand on à jamais fais de calcul diff.

Édité par InaDeepThink

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Auteur du sujet

Merci d’avoir rectifié la limite. :-°

J’ai essayé de lire sur Wikipédia l’article sur les 1-formes, et ce n’est pas de mon niveau de compréhension.

Je vais en rester à une définition plus intuitive et physique de $\mathrm dx$ :

$\mathrm dx$ correspond à un accroissement (positif ou négatif) infiniment petit de la grandeur $x$.

ça devrait me suffire pour cette année en math. ^^

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En complément,

On peut voir cela comme l’application de l’opérateur différentielle à la fonction image. Cela fait sens quand on sait que l’une des plus puissantes propriétés de cette dernière est:

$d(f(g)) = d(f)(g)d(g)$

Ce qui veut dire que dans notre cas,

$d(f(x)) = df(x)dx$

Édité par Bartpab

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Auteur du sujet

J’ai bien lu vos messages mais j’aimerais vous faire part de mes récentes réflexions sur $\mathrm dx$.

Qu’en pensez-vous ?

Ce qui suit est à critiquer bien entendu !
Le raisonnement obtenu ci-dessous part d’une approche intuitive de $\mathrm dx$.

Différence fondamentale entre $\Delta x$ et $\mathrm dx$ :

  • $\Delta x$ est un accroissement fini de la grandeur $x$
  • $\mathrm dx$ est un accroissement infinitésimal de la grandeur $x$

J’entends par accroissement fini, tout accroissement $t \neq 0$ d’une grandeur réelle $x$ tel quel :

$$\forall x \in \mathbb R, \forall t \in \mathbb R^+_0, \exists \epsilon \in \mathbb R : x < \epsilon < x + t$$

En français :

« Quel que soit l’accroissement fini $t$ de la grandeur $x$, il existera toujours un $\epsilon$ réel strictement inclus entre $x$ et $x+t$ ».

La définition mathématique ne prends en compte que $t > 0$, mais il en sera de même pour $t < 0$, auquel cas il suffit de changer le sens des inégalités strictes.

Autres propriétés :

$\mathrm dx$ étant infinitésimal, $x + \mathrm dx$ n’a pas de sens car l’opérateur $+$ ne peut s’appliquer qu’entre deux grandeurs réelles.

$\ce{->} \mathrm dx \notin \mathbb R$

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Heuf. Oui et non.

Oui, tu peux, dans ton contexte voir ${\rm d}x$ comme un "accroissement infinitésimal", et, oui, on peut construire une extension de ${\bf R}$ telle qu’il existe des nombres strictement plus grands que 0 et strictement plus petit que tout réel (${}^*{\bf R}$), mais ça demande une reformulation des théorèmes (transfert). Mais ce n’est pas une construction très populaire aujourd’hui, et il faut aussi faire un peu attention à ce que l’on dit dans ce cas là.

Non, vouloir donner des propriétés de ${\rm d}x$ n’est pas si simple. Et ton charabia en $\forall-\exists$ est une tautologie. Et ça n’a pas trop de sens de vouloir dire des trucs comme ça.

Par contre, oui, l’intuition que ${\rm d}x $ est très petit, c’est l’intuition qu’il faut avoir à ton niveau et (probablement) pas une autre.

Édité par dab

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Pour expliquer simplement la notion de $dx$, il faut imaginer que par définition on dit qu’une fonction est différentiable si tu peux pour une variable dans son domaine de définition et un $\epsilon$, tel que $x+\epsilon$ reste dans le domaine de définition de $f$, écrire:

$f(x+\epsilon) = f(x) + L_f(\epsilon) + o(||\epsilon||)$

Ce qui peut se traduire par

  • $f(x+\epsilon)$ ma nouvelle position
  • $f(x)$ mon point de départ
  • $L_{f(x)}(\epsilon)$ Une fonction correspondant à écart "linéaire" autour du point $x$ en fonction de $\epsilon$. On peut imaginer une droite dans le cas 2D: $L_{f(x)}(\epsilon) = a_{f(x)} + b_{f(x)}\epsilon$.

  • $o(||\epsilon||)$ Une "erreur" négligeable devant mon $\epsilon$.

Là où ça devient intéressant, c’est que cette erreur ($o(||\epsilon||)$) est d’autant petite que $\epsilon$ est petit, c’est ce qui fait marcher tout les raisonnements "infinitésimaux".

On appelle cette petite fonction $L_{f(x)}$, $df(x)$, la différentielle de $f$ au point $x$. C’est une application qui va nous donner une fonction linéaire autour du point $x$. $df(x): \epsilon\to df(x)(\epsilon)$

En composant cette application (la différentielle) avec une fonction image $x \to x$, cela nous donne:

$d(f(x)) = df(x)dx$

Ce qui signifie que $dx$ désigne une application qui pour un $x$ donné nous donne une fonction linéaire autour de ce point: $dx: \epsilon\to dx(\epsilon)$

Édité par Bartpab

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Juste pour ajouter une précision assez importante au message assez claire de Bartpad, la différentielle d’une fonction f est non seulement une application linéaire mais aussi une application continue. Sans oublie qu’en dimension finie, une application linéaire est forcément continue.

Édité par Würtz

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On a : $x \mapsto \mathrm{d}xF \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^p,\mathbb{C})$ (si on se place sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$) ou $F$ est une fonction de classe $C^m$ sur $U$ à valeurs complexes. Donc note que $\mathrm{d}x$ est une application linéaire continue.

Édité par InaDeepThink

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C’est quoi $dx$ ?

$dx$ est une forme linéaire sur l’espace des dérivations. C’est l’unique fonction linéaire vérifiant $dx(\partial/\partial x ) =1$.

En fait $dx$ c’est l’application duale $\partial/\partial x$.

Ça c’est pour la réponse mathématique précise. Y a pas d’histoire d’infinitésimaux et compagnie.

Dans $\mathbf R$, ça signifie simplement que :

$$ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx$$

ce qui semble évident, mais en même temps c’est une définition donc c’est toujours un peu évident.

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Auteur du sujet

$dx$ est une forme linéaire sur l’espace des dérivations. C’est l’unique fonction linéaire vérifiant $dx(\partial/\partial x ) =1$.

Aaah, cool ! :D
Cette phrase me parle :-°

Pour être bien sûr : $\mathrm dx$ est une forme ou une fonction linéaire ?

Pourrais-tu aussi me définir l’espace des dérivations ?
Je connais les espaces vectoriels :)

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Une forme linéaire (ou application linéaire) signifie que:

$\forall (x,y) \in E, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(x+\lambda y) = f(x) + \lambda f(y) $

Avec $\mathbb{K}$ un corps, soit les réels ou les complexes en général.

edit: My bad j’ai pas vu que tu que tu connaissais les EV.

Édité par Bartpab

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Auteur du sujet

Une forme linéaire (ou application linéaire) signifie que:

$\forall (x,y) \in E, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(x+\lambda y) = f(x) + \lambda f(y) $

Ici, tu as défini la linéarité.

Ce que je me demande plutôt, c’est si $\mathrm dx$ est une forme linéaire ou une fonction linéaire. :)

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

C’est une forme linéaire, ce qui signifie que ça a des valeurs scalaires.

L’espace des dérivations (dans notre cas de figure), c’est l’ensemble des formes linéaires $D: C^\infty(\mathbf R)\to\mathbf R$ qui vérifient l’identité de Leibniz : $D(fg)=D(f)g+fD(g)$.

edit : important de noter ici, qu’on définit les choses ponctuellement : on sous-entend toujours qu’on fait les choses en $p\in \mathbf R$. Par exemple une dérivation est prise en $p$, etc.

Édité par Holosmos

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