Introduction à la géométrie différentielle

niveau L3

a marqué ce sujet comme résolu.
Auteur du sujet

Bonjour, je suis en train de faire quelques exercices portant sur une UE de L3 maths qui est une introduction à la géométrie différentielle et je bloque sur un en particulier. N’ayant pas la correction je viens ici dans l’espoir où quelqu’un saurait m’aider :p

1) Rappeler pourquoi l’hyperboloïde à une nappe S, d’équation

$x^2+y^2-z^2=1$

est une surface (de classe C infini) de $\mathbb R^3$. En quels points le plan tangent est-il vertical?

Voilà ce que j’ai envie de répondre :

On pose $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3, x^2+y^2-z^2=1 \}$. Soit g une application de $\mathbb R^3$ privé de (0,0,0) dans $\mathbb R^3$ qui à (x,y,z) associe $x^2+y^2-z^2-1$. On a donc, Dg(x,y,z)=(2x 2y -2z) qui est bien de rang 1 et comme S=g-1{(0,0,0)} , nous avons donc bien montré que S était une sous variété de dimension 2 de classe C infini de \mathbb R^3$.

2)Montrer que l’application F(u,v)=(ch(u)cos(v),ch(u)sin(v),sh(u)) est de rang 2 en tout point de $\mathbb R^2$ et qu’elle est injective sur $\mathbb R\times ]0,2pi[$. Montrer que l’image de $\mathbb R^2$ est S. Que vaut F($\mathbb R\times ]0,2pi[$)?

Et donc ma réponse incomplète :

$DF(u,v)= \begin{pmatrix} -sh(u)cos(v) & -ch(u)sin(v) \\ -sh(u)sin(v) & ch(u)cos(v) \\ ch(u) & 0 \end{pmatrix}$

Sauf erreur de calcul je ne trouve pas que la matrice est de rang 2 si j’étudie chaque mineur. Me suis-je tromper dans le calcul de ma jacobienne?

Pour l’injectivité c’est ok grâce à la 3ème composante de F.

Pour le reste de la question j’ai un peu de mal à visualiser. En faite j’ai l’impression qu’il faut pas rester sur les fonctions hyperboliques et qu’en faite c’est une application bien connu à changement de variable près.

Il reste ensuite 3 autres questions pour boucler l’exercice mais j’aimerais bien déjà avoir quelques retours la dessus.

Merci d’avance,

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Dans ta question 1), c’est pas très clair pourquoi c’est une submersion. Il faut que tu mettes en valeur le fait que le seul point où l’application n’est pas de rang maximal c’est en $(0,0,0)$ et que ce point n’appartient pas à ta surface. Il manque aussi ta réponse à la deuxième partie de la réponse (sur le plan tangent vertical)

Pour la question 2), à vue de nez ta différentielle est bien de rang $2$. Quel est ton problème ?

Si tu calcules $x^2+y^2$ avec $x,y$ les deux premières composantes de $F(u,v)$ tu trouves pas par hasard $1+z^2$ ? :) Il te reste ensuite à travailler la réciproque : écrire un point de ta surface $S$ comme une image $F(u,v)$.

Édité par Holosmos

+0 -0
Auteur du sujet

Dans ta question 1), c’est pas très clair pourquoi c’est une submersion. Il faut que tu mettes en valeur le fait que le seul point où l’application n’est pas de rang maximal c’est en (0,0,0) et que ce point n’appartient pas à ta surface. Il manque aussi ta réponse à la deuxième partie de la réponse (sur le plan tangent vertical)

Oui j’ai oublié de parler du point (0,0,0) c’est vrai. J’en ai même oublié de répondre à la deuxième partie de la question ( je l’avais fait sur ma feuille :p ).

D’abord on écrit l’expression du plan tangent vectoriel en un point a=(a,b,c).

$V_{a}S = Ker D_{a}g \Leftrightarrow 2xa+2yb-2zc=0$ On pose le vecteur $\vec{u}=\begin{pmatrix}v \\ w \\ 0 \end{pmatrix}$ qui appartient au plan xOy. On fait ensuite le produit scalaire de u avec le vecteur $\begin{pmatrix}2a \\ 2b \\ -2c \end{pmatrix}$ et on trouve des conditions sur v et w qui répondent à la question.

Pour la différentielle on est d’accord qu’instinctivement on calcule le déterminants des 3 mineurs associés à la matrice et on doit trouver que le déterminants est différent de 0 pour chaque mineur ?

Si tu calcules x2+y2 avec x,y les deux premières composantes de F(u,v) tu trouves pas par hasard 1+z2

C’est claire pour moi mais j’ai du mal à voir en quoi cela m’aide pour le reste de la question… Ah si attends j’ai peut-être compris où tu voulais en venir. Ici tu as montré que $F(R^2)$ est inclus dans S.

Il te reste ensuite à travailler la réciproque : écrire un point de ta surface S S comme une image F(u,v)

Et du coup maintenant tu essaierais de montrer l’inclusion inverse ? Si c’est ça je ne vois pas du tout comment faire :/

+0 -0

Pour la différentielle on est d’accord qu’instinctivement on calcule le déterminants des 3 mineurs associés à la matrice et on doit trouver que le déterminants est différent de 0 pour chaque mineur ?

Non, tu peux avoir un mineur nul sans que ça n’empêche la matrice soit de rang 2 …

D’ailleurs si tu regardes bien, la dernière ligne est clairement indépendante de la deuxième ou de la première

+0 -0
Auteur du sujet

Pour la différentielle on est d’accord qu’instinctivement on calcule le déterminants des 3 mineurs associés à la matrice et on doit trouver que le déterminants est différent de 0 pour chaque mineur ?

Non, tu peux avoir un mineur nul sans que ça n’empêche la matrice soit de rang 2 …

D’ailleurs si tu regardes bien, la dernière ligne est clairement indépendante de la deuxième ou de la première

Holosmos

D’accord j’avais le même argument en tête sauf que je voulais essayer autrement.

Pour la question sur le plan tangent tu penses quoi de ma réponse?

+0 -0

Ceci dit, maintenant que j’y pense (après deyx verres dans le nez) je pense qu’il y a un souci. Tu fais un produit scalaire avec la différentielle de ton equation mais faut pas oublier que c’est le noyau de ton équation qui dinne l’espace tangent.

J’ai l’impression que tu as cru que c’etait une paraletrisation ou alors tu ne considères pas les plans verticaux mais horizontaux (c’est l’axe z qu’on met en vertical habituellement)

+0 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte