Introduction à la géométrie différentielle

Bonjour, je suis en train de faire quelques exercices portant sur une UE de L3 maths qui est une introduction à la géométrie différentielle et je bloque sur un en particulier. N’ayant pas la correction je viens ici dans l’espoir où quelqu’un saurait m’aider

1) Rappeler pourquoi l’hyperboloïde à une nappe S, d’équation

$x^2+y^2-z^2=1$

est une surface (de classe C infini) de $\mathbb R^3$. En quels points le plan tangent est-il vertical?

Voilà ce que j’ai envie de répondre :

2)Montrer que l’application F(u,v)=(ch(u)cos(v),ch(u)sin(v),sh(u)) est de rang 2 en tout point de $\mathbb R^2$ et qu’elle est injective sur $\mathbb R\times ]0,2pi[$. Montrer que l’image de $\mathbb R^2$ est S. Que vaut F($\mathbb R\times ]0,2pi[$)?

Et donc ma réponse incomplète :

Il reste ensuite 3 autres questions pour boucler l’exercice mais j’aimerais bien déjà avoir quelques retours la dessus.

Merci d’avance,

Dans ta question 1), c’est pas très clair pourquoi c’est une submersion. Il faut que tu mettes en valeur le fait que le seul point où l’application n’est pas de rang maximal c’est en (0,0,0) et que ce point n’appartient pas à ta surface. Il manque aussi ta réponse à la deuxième partie de la réponse (sur le plan tangent vertical)

Oui j’ai oublié de parler du point (0,0,0) c’est vrai. J’en ai même oublié de répondre à la deuxième partie de la question ( je l’avais fait sur ma feuille ).

D’abord on écrit l’expression du plan tangent vectoriel en un point a=(a,b,c).

$V_{a}S = Ker D_{a}g \Leftrightarrow 2xa+2yb-2zc=0$ On pose le vecteur $\vec{u}=\begin{pmatrix}v \\ w \\ 0 \end{pmatrix}$ qui appartient au plan xOy. On fait ensuite le produit scalaire de u avec le vecteur $\begin{pmatrix}2a \\ 2b \\ -2c \end{pmatrix}$ et on trouve des conditions sur v et w qui répondent à la question.

Pour la différentielle on est d’accord qu’instinctivement on calcule le déterminants des 3 mineurs associés à la matrice et on doit trouver que le déterminants est différent de 0 pour chaque mineur ?

Si tu calcules x2+y2 avec x,y les deux premières composantes de F(u,v) tu trouves pas par hasard 1+z2

C’est claire pour moi mais j’ai du mal à voir en quoi cela m’aide pour le reste de la question… Ah si attends j’ai peut-être compris où tu voulais en venir. Ici tu as montré que $F(R^2)$ est inclus dans S.

Il te reste ensuite à travailler la réciproque : écrire un point de ta surface S S comme une image F(u,v)

Et du coup maintenant tu essaierais de montrer l’inclusion inverse ? Si c’est ça je ne vois pas du tout comment faire :/

Pour la différentielle on est d’accord qu’instinctivement on calcule le déterminants des 3 mineurs associés à la matrice et on doit trouver que le déterminants est différent de 0 pour chaque mineur ?

Non, tu peux avoir un mineur nul sans que ça n’empêche la matrice soit de rang 2 …

D’ailleurs si tu regardes bien, la dernière ligne est clairement indépendante de la deuxième ou de la première

D’accord j’avais le même argument en tête sauf que je voulais essayer autrement.

Pour la question sur le plan tangent tu penses quoi de ma réponse?

Ça a l’air cohérent, quoique peu détaillé

Ceci dit, maintenant que j’y pense (après deyx verres dans le nez) je pense qu’il y a un souci. Tu fais un produit scalaire avec la différentielle de ton equation mais faut pas oublier que c’est le noyau de ton équation qui dinne l’espace tangent.

J’ai l’impression que tu as cru que c’etait une paraletrisation ou alors tu ne considères pas les plans verticaux mais horizontaux (c’est l’axe z qu’on met en vertical habituellement)