Dans mon cours, la formule de l’incertitude pour une mesure G = f(x, y), où x et y sont connues avec les incertitudes u(x) et u(y), est la suivante : u(G)=∣∂f/∂x∣×u(x)+∣∂f/∂y∣×u(y).
Or, cette formule suivante revient dans certains livres : u(G)=[(∂f/∂x)×u(x)]2+[(∂f/∂y)×u(y)]2.
On voit que l’expression ci-dessus est inférieure à l’expression ∣∂f/∂x×u(x)+∂f/∂y×u(y)∣, elle même inférieure à la formule de mon cours par l’inégalité triangulaire (et puisque l’incertitude est toujours positive).
La question pour savoir quelle formule utiliser : vaut-il mieux sur-estimer ou sous-estimer l’incertitude?
Si x et y sont indépendants, la bonne formule est la seconde.
Edit: Ce genre de formules se démontre, tu dois avoir la démonstration sur Wikipédia1 (fr ou en) ou dans ton bouquin. Si tu ne comprends pas d’où elles viennent, n’hésite pas à demander plus de précision .
@Blackline: Ta remarque est pertinente, mais il y a quand même un cadre formel pour propager les erreurs de mesures. Mais en effet, en cas de doute2, sur-estimer peut être pertinent.
Je préfère te renvoyer à Wikipédia que d’écrire une démonstration qui sera quasiment la même.
On a une fonction de plusieurs variable, je la note f({xi}i). On mesure plusieurs grandeurs, chacune est une variable aléatoire {Xi}i. Pour chaque variable on a alors sa moyenne <Xi> et son écart-type σXi2=<(Xi−<Xi>)2>.
On pose la variable aléatoire Y=f({Xi}i) et on cherche sa moyenne <Y> et son écart-type σY.
Ce qu’on va faire, c’est linéariser f autour du point {<Xi>}i au second ordre:
Y=f({Xi}i)≈f({<Xi>}i)+j∑∂xjf({<Xi>}i)×[Xj−<Xj>]+21j,k∑∂xj,xk2f({<Xi>}i)×[Xj−<Xj>][Xk−<Xk>]
Commençons par la moyenne:
<Y>≈f({<Xi>}i)+21j,k∑∂xj,xk2f({<Xi>}i)×σXj,Xk<[Xj−<Xj>][Xk−<Xk>]>
Puis l’écart-type:
σY2=<(Y−<Y>)2>≈<(j∑∂xjf({<Xi>}i)×[Xj−<Xj>])2>≈j,k∑∂xjf({<Xi>}i)∂xkf({<Xi>}i)×σXj,Xk
Si les variables sont indépendantes σXj,Xk=δjkσXj2 et alors:
<Y>≈f({<Xi>}i)+21j∑∂xj2f({<Xi>}i)×σXj2σY2≈j∑[∂xjf({<Xi>}i)]2×σXj2
C’est ta seconde formule.
Si tu pouvais me dire ce que tu comprends ou pas, je pourrais préciser un peu C’est peut-être juste les notations qui sont différentes de celles dont tu as l’habitude.
Je peux te le réécrire dans le cas deux variables si tu penses que ça peut t’aider.
Alors, {Xi} c’est la collection de tes variables aléatoires, par exemple dans ton cas de deux variables, {Xi}={X,Y}. J’aurais aussi pu écrire f(X0,X1,⋯) par exemple, le fond est le même.
Pour le développement, je prends une fonction f d’une seule variable, son développement au second ordre autour de x0 est:
f(x)≈f(x0)+f′(x0)×[x−x0]+21f′′(x0)×[x−x0]2
Dans le cas d’une fonction à deux variables1 autour de x0,y0:
f(x,y)≈f(x0,y0)+∂x∂f(x0,y0)×[x−x0]+∂y∂f(x0,y0)×[y−y0]+21∂x2∂2f(x0,y0)×[x−x0]2+21∂y2∂2f(x0,y0)×[y−y0]2+∂x∂y∂2f(x0,y0)×[y−y0]2
La forme que je te donne est la généralisation à N variables, les {xi}i
C’est un peu plus clair ? N’hésite pas si il reste des zones flou.
Avec une régularité suffisent, au moins localement, pour appliquer le théorème de Schwarz.
Je te le fais le détail pour le cas à une variable, on a donc le développement de f autour de la moyenne <X>:
f(X)≈f(<X>)+f′(<X>)×[X−<X>]+21f′′(<X>)×[X−<X>]2
Je prends la moyenne:
<f(X)>≈scalairef(<X>)+scalairef′(<X>)×=<X>−<X>=0<[X−<X>]>+21scalairef′′(<X>)×Par deˊfintion: σX2<[X−<X>]2>≈f(<X>)+21f′′(<X>)σX2
Le cas à N variables est semblable. Il va faire apparaître des <[X−<X>][Y−<Y>]>=σX,Y qui est la covariance entre les variables X et Y. Si les variables sont indépendantes elle est nulle et on a aussi <XY>=<X><Y> — ce qui n’est pas le cas sinon.
δjk est le symbole de Kronecker ici. Il vaut 1 si les indices sont identiques j=k, 0 sinon.
Edit (@modération): Il n’y a pas un problème d’affichage des fractions sur le site ? Ou c’est juste chez moi ? Je ne vois pas les barres des fractions (écrit avec \frac{a}{b}).
Edit (@modération): Il n’y a pas un problème d’affichage des fractions sur le site ? Ou c’est juste chez moi ? Je ne vois pas les barres des fractions (écrit avec \frac{a}{b}).
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