Ensuite, même chose pour "alors il existe e tq … Donc ce e vérifie …". Pourquoi avec un quantificateur je suis bloqué ? Le français a des pouvoirs magiques insoupçonnés jusqu'alors ? Et pourquoi je ne pourrais pas écrire "Il existe e … Dans ce cas, e" ou encore "soit e cet élément, …".
– Goeland-croquant
C'est ce qu'on m'a enseigné, oui. Est-ce incorrecte ?
En fait, je sais pas si c'est incorrect. Je fais remonter cela parce que je pense qu'on peut très rapidement se poser la question "pourquoi la différence entre les deux ? Les symboles mathématiques, supposés plus précis puisque crées pour compenser le manque de précision du français, sont plus "faibles" ?".
Pour ma part, ce qu'on m'a appris, c'est que les symboles permettent d'apporter de la précision sans trop alourdir l'écriture, mais qu'ils sont équivalents aux expressions en français "pour tout" et "il existe". Ils sont plus courts, c'est pour ça qu'on les emploie, pour dire la même chose, sauf qu'on ne mélange pas les genre et on évite d'écrire $\exists f$ fonction de $R$ dans $R$ vérifiant …, comme on évite d'écrire $\forall x \in R$, $f$ est bien définie en $x$.
Pour introduire les variables, je pense comme Gabbro. Peut-être que ça vaudrait le coup que tu poses quelques questions à poser à ton prof de sup' à ce sujet ?
Sont-ils incorrects ? Mal présentés ? Incompris ? Cela vaut-il le coup de poursuivre ?
L'exposé est correct, ils sont bien compris et je pense que ça vaudrait le coup de poursuivre (au moins pour l'intégrer dans un autre si ce serait plus pertinent comme ça). En revanche, je pense que tu devrais le repenser, pour faire moins listing des erreurs à ne pas reproduire et trouver un "fil rouge" qui t'emmenerait du problème de définir de quoi on parle à respecter des conventions d'écriture commune en passant par tous les thèmes que tu as envisagés. Qui a dit que c'était simple ?
Par exemple, partir d'un exposé dont le fond est vrai, mais le style imbuvable et l'écriture tendancieuse. Quantificateurs après le sujet en question, des variables non définies, méconnaissance totale de ce qu'on souhaite faire et avancée dans une suite incompréhensible de symboles, …
Montrer ensuite pourquoi c'est vrai, mais pourquoi personne n'y comprend rien et pas une suite de questions qui volent dans tous les sens, au moins encore plus imbuvables que l'exposé précédent. Là, on va commencer à voir ce qu'il faut faire pour préciser ce qu'on veut faire, donner une structure au tout…
Tu pourrais ensuite mieux réunir par thème "expliquer ce qu'on fait" :
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Annoncer ce qu'on souhaite faire. Expliquer qu'avant d'écrire, il faut se demander d'où on part et ce qu'on souhaite démontrer. "Pour montrer cela, il suffit de montrer que … On veut montrer l'unicité et l'existence de … - Unicité : (…) - Existence : ( …) … On veut montrer que A ssi B : - A implique B : (…) - B implique A : (…)". Tu peux ensuite aboutir à l'idée que le lecteur peut zapper directement les calculs de la démonstration, il a directement accès à sa structure. L'idée, c'est de montrer que c'est pas juste pour faire plaisir au correcteur et avoir des points, c'est pour simplifier la vie et communiquer. Comme ça, la structure est accessible et on comprend ce qu'on fait, même si on ne comprend pas comment on le fait.
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on connecte les éléments qu'on écrit par .. des connecteurs logiques, adaptés à la situation, tant qu'à faire. On peut utiliser donc, si, alors, c-est-à-dire, (ce qui est) équivalent à, dans ce cas… Faire l'analogie avec le français, c’est la langue naturelle des lecteurs ! (francophones, en tout cas).
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Donner des arguments. On ne peut pas toujours faire ce qu'on veut. Par exemple diviser par 0. (détailler …). On montre qu'on a bien le droit de diviser par $x$ parce qu'il est non nul. On se pose la question de savoir si ce qu'on fait est possible ou pas et on y répond.
Eviter toute ambiguité : on pourrait y réunir le besoin de nommer ses variables, comment introduire ses variables, les quantificateurs mathématiques et enfin écrire en style mathématique. Comment lire une phrase écrite en maths ? (introduire le problème de l'ordre des quantificateurs et de la portée des variables). Comment écrire les bons symboles, comment choisir si on écrit en français ou en maths…
Exemple : oui, mais à mieux détailler et rendre moins dense.
Bon en fait, est-ce que ce plan est bien, mieux, pire, pas encore ça, j'en sais rien. C'était juste pour donner mon avis sur comment reconstruire le plan et faire moins listes des choses à éviter, ne pas hésiter à rebondir dessus, reconstruire autrement…
Mais surtout, à mon avis, montrer à chaque fois avant de détailler ce qu'il faut faire pourquoi le problème se pose et ne pas rentrer directement dans les détails, comme dans "toujours introduire ses variables : … on utilise posons, soit, introduisons". Par exemple, donner un cas litigieux, comme "On a $x = ab$,… et faire intervenir $a^{-1}$ sans jamais avoir défini ni $a$ ni $b$ et sans savoir si $a^{-1}$ est bien défini et montrer précisément en quoi c'est un problème !
J'espère que ça te sera utile comme remarques, et que d'autres n'hésiteront pas à compléter (ou corriger, si ils ne sont pas d'accord !). Et surtout n'hésites pas à te réapproprier tout ça, c'est toi qui écrit, ce qui compte c'est que tu saches ce que tu écris et que tu le fasses bien.