Calculer le groupe de Galois de x³-3

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Auteur du sujet

EDIT: mon problème est déjà résolu, je laisse juste ça ici si jamais ça peux aider quelqu’un

Salut tout le monde !

Honnêtement ça me paraît vraiment simple mais pourtant je suis bloqué …

Je dois trouver le groupe de Galois correspondant au corps de décomposition de x33x^3 - 3 (sur Q\mathbb{Q}). Exercice classique, comme ses racines sont α,ξα\alpha, \xi\alpha et ξ2α\xi^2 \alpha (avec α=33\alpha = \sqrt[3]{3} et ξ=e2π/3\xi = e^{2\pi/3}), le corps de décomposition est Q(ξ,α)\mathbb{Q}(\xi, \alpha). Du coup tous les éléments du groupe de Galois sont de la forme ξξj\xi \rightarrow \xi^j, αξkα\alpha \rightarrow \xi^k\alpha, avec j = 1, 2 et k = 0, 1, 2.

Je sais que le groupe de Galois est un sous groupe de S3S_3 puisqu’il y a 3 racines, et comme on a un groupe d’ordre 6, alors il y a égalité.

Sauf qu’en identifiant les éléments du groupes avec ceux de {1,2}×{0,1,2}\{1, 2\} \times \{0, 1, 2\}, i.e. (1,0)(1, 0) étant l’élément neutre, j’arrive à trouver un cycle d’ordre 6 :

(1,0)(2,1)(1,3)(2,0)(1,2)(2,3)(1,0)(1, 0) \rightarrow (2, 1) \rightarrow (1, 3) \rightarrow (2, 0) \rightarrow (1, 2) \rightarrow (2, 3) \rightarrow (1, 0)

Comme le groupe de Galois devrait être d’ordre 6, s’il y a un cycle d’ordre 6, alors c’est le groupe cyclique C6C_6 : contradiction !

Du coup mon erreur était toute bête, les opérations sur le deuxième composant se font modulo 3, donc ce n’est pas (1,3)(1, 3) mais (1,0)(1, 0) : on retrouve bien un cycle d’ordre 2. Ouf !

Édité par Joh11

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