Calculer le groupe de Galois de x³-3

EDIT: mon problème est déjà résolu, je laisse juste ça ici si jamais ça peux aider quelqu’un

Salut tout le monde !

Honnêtement ça me paraît vraiment simple mais pourtant je suis bloqué …

Je dois trouver le groupe de Galois correspondant au corps de décomposition de $x^3 - 3$ (sur $\mathbb{Q}$). Exercice classique, comme ses racines sont $\alpha, \xi\alpha$ et $\xi^2 \alpha$ (avec $\alpha = \sqrt[3]{3}$ et $\xi = e^{2\pi/3}$), le corps de décomposition est $\mathbb{Q}(\xi, \alpha)$. Du coup tous les éléments du groupe de Galois sont de la forme $\xi \rightarrow \xi^j$, $\alpha \rightarrow \xi^k\alpha$, avec j = 1, 2 et k = 0, 1, 2.

Je sais que le groupe de Galois est un sous groupe de $S_3$ puisqu’il y a 3 racines, et comme on a un groupe d’ordre 6, alors il y a égalité.

Sauf qu’en identifiant les éléments du groupes avec ceux de $\{1, 2\} \times \{0, 1, 2\}$, i.e. $(1, 0)$ étant l’élément neutre, j’arrive à trouver un cycle d’ordre 6 :

$(1, 0) \rightarrow (2, 1) \rightarrow (1, 3) \rightarrow (2, 0) \rightarrow (1, 2) \rightarrow (2, 3) \rightarrow (1, 0)$

Comme le groupe de Galois devrait être d’ordre 6, s’il y a un cycle d’ordre 6, alors c’est le groupe cyclique $C_6$ : contradiction !

Du coup mon erreur était toute bête, les opérations sur le deuxième composant se font modulo 3, donc ce n’est pas $(1, 3)$ mais $(1, 0)$ : on retrouve bien un cycle d’ordre 2. Ouf !

Ok je vais faire ça, merci du conseil (bon c’est vraiment une erreur toute bête mais si ça peux aider qqun)