Démonstration exponentielle/puissance

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Auteur du sujet

Bonjour à tous, je suis bloqué sur un problème qui me taraude l'esprit depuis un certain temps: en fait j'essaie de démontrer les propriétés de l'exponentielle, et notamment que exp(x) = e^^x et ce pour tout x réel.

Voilà ce que j'ai trouvé pour l'instant Image utilisateur

J'ai expliqué à la fin de l'image où était mon problème, et honnêtement je suis assez coincé: je tourne en rond, en revenant tout le temps sur mes pas. Si jamais j'ai mal expliqué mon problème, redemandez-moi :)

Merci d'avance à toute personne qui essaierait de m'aider.

EDIT: Si l'image ne s'affiche pas entièrement, voici le lien directe qui vous permettra de la regarder dans sa totalité http://i.imgur.com/DQ0F5SQ.png

Édité par barbubabytoman

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Salut,

As-tu vu cette définition : $\forall x \in \mathbb R_+^*, \forall y \in \mathbb R, x^y = exp(y \times ln(x))$ ?

C'est celle d'une puissance réelle.

Édité par Vayel

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Auteur du sujet

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Moi ce qui me gêne, c'est qu'on a l'exponentielle: pour les entiers relatifs, j'ai aucun problème à dire que exp(n) = e^n.

Pour les autres ensembles de nombres, j'ai l'impression qu'on se contente juste "d'étendre" la propriété, sans la démontrer. En quoi c'est légitime de faire ça ?

Édité par barbubabytoman

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Staff

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Dans notre cours, on a posé ça comme une définition. Donc ça ne se démontre pas.

Vayel

Le poser comme une définition, pourquoi pas. Dire que ça se démontre pas … je suis pas trop d'accord. À priori rien ne dit que c'est pas démontrable avec une définition équivalente (il y en a plein pour l'expo et le log).

En regardant la série ça saute aux yeux. Avec des arguments d'EDO on doit aussi pouvoir s'en sortir.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

pour démontrer que c'est vrai $ \forall b \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}^{+*}$, on peut passer par la propriété qui dit que ln et exponentiel sont réciproques.

Ainsi :

on a d'un côté

$$ e^{b \times ln(a)} = e^{ln(a)}^b = (e^{ln(a)})^b = a^b $$

et de l'autre

$$ e^{ln(a^b)} = a^b $$

Or, comme l'exponentielle est une fonction strictement monotone et croissante, $ \text{si} \exists x,y,z \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+ | e^x = e^y = z \text{alors} x = y$.

Édité par artragis

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Tu prends quoi comme définition pour $e^x$ ? Parce que sans définition de la notation, difficile de démontrer quoique ce soit.

Pour définir cette notation sans passer par l'exponentielle, on doit pouvoir le faire par prolongement par continuité. Ensuite le résultat que tu veux viens tout seul par densité des rationnels dans les réels. En gros tout réel peut être limite d'une suite de rationnel, $u$, et tu as montré que $e^{u_n}=exp(u_n)$ ensuite tu passes à la limite et tu as ce que tu veux.

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

@artragis: Le but de l'op c'est de montrer que $exp(x)=e^x$ justement, je vois mal comment faire ça sans définir l'ensemble des notations. Si tu peux remplacer $e^x$ par $exp(x)$ c'est justement parce que tu as l'égalité que l'op cherche à démontrer.

@OP: J'avais pas vu que tu n'as pas encore le résultat sur les rationnels, pourtant tu y étais presque. Tu as $e^a=exp(\frac{a}{b})^b$, a et b entiers relatifs, tu prends la racine b-ième principale de chaque côté, ce qu'on note $x^{\frac{1}{b}}$, et tu as $e^{\frac{a}{b}}=exp(\frac{a}{b})$.

PS: Utilise un éditeur latex en ligne si les formules n’apparaissent pas dans ton navigateur (comme http://www.hostmath.com/).

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Comme la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb R$, elle est également continue. On peut démontrer tout nombre réel non rationnel est la limite d'une suite de nombres rationnels. Fixons donc $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$. Il existe une suite de rationnels $(r_n)_{n\in\mathbb N}$ qui converge vers $x$. Pour chaque $n\in\mathbb N$, posons $r_n = \frac{p_n}{q_n}$, avec $(p_n, q_n)\in\mathbb{Z\times N^*}$. On a déjà établi que $\exp\left(\frac{p_n}{q_n}\right) = e^{\frac{p_n}{q_n}}$ et que $\lim_{n\to+\infty} \exp\left(\frac{p_n}{q_n}\right) = \exp(x)$, par continuité de la fonction exponentielle. Doù $e^x = \exp(x)$

Précision — En fait, mon post masque un fait souvent utile quand on veut étendre une propriété vraie pour les rationnels vers tous les réels. Ici, j'ai utilisé une suite de rationnels tendant vers un nombre réel non rationnel. C'est un procédé analytique, profondément différent des méthodes que l'on utilise habituellement pour démontrer le résultat pour les rationnels. C'est une chose à garder en tête car souvent fructueuse : quand on a une propriété vraie dans $\mathbb Q$ et que l'on veut la démontrer pour $\mathbb R$, les méthodes purement algébriques sont rarement fructueuses. Quand on y réfléchit, c'est logique : l'ensemble des nombres rationnels est directement construit par des méthodes algébriques (relations d'équivalence, blabla), au contraire de l'ensemble des réels qui est analytique par nature : une façon de le construire est d'étudier des limites de suites, ce qui est déjà de l'analyse. Il est donc logique de faire appel à des stratégies d'analyse pour comprendre les propriété qui parlent des réels. C'est ce que je fais ici dans ma preuve. :)

Édité par c_pages

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