Spectroscopie et commutativité

Merci de vos réponses, c’est vrai que c’est pas du tout évident pour moi les orbitales atomiques.

Je pense que tu voulais dire produit tensoriel et pas scalaire. Voilà ce que je comprends pour la colonne "quadratic" : on fait agir le groupe sur les formes quadratiques, et on regarde comment ça se découpe en représentations irréductibles. Du coup ça me va pour les formes quadratiques et linéaires, mais il reste cette colonne "rotations" que je ne comprends pas.

Pour savoir où va $R_z$, on fait agir par conjugaison le groupe sur $R_z$, en espérant qu’on trouve à chaque fois $±R_z$… ? Mais par exemple dans $D_3$, que veut dire ce $(R_x, R_y)$ ?

J’ai regardé dans le livre de Serre Représentations linéaires des groupes mais malheureusement il n’y a pas cette partie. D’ailleurs on trouve une définition de $D_{nh}$ : il ne s’agit pas du groupe diédral d’ordre $2nh$ mais du groupe $D_n × ℤ/2ℤ$.

@Kanaal En fait j’ai compris ce que tu disais pour la preuve du sens réciproque. Si toutes les représentations irréductibles sont de dimension $1$, c’est qu’il y a autant de classes de conjugaison que d’éléments du groupe et donc le groupe est abélien. Mais je ne vois toujours pas pour l’utilisation du lemme de Schur.

Edit. C’est bon aussi pour le lemme de Schur en fait.

Merci de vos réponses, c’est vrai que c’est pas du tout évident pour moi les orbitales atomiques.

Mais de rien. Je fais les exos du cours de chimie quantique à des mathématiciens, je sais ce que c’est

Je pense que tu voulais dire produit tensoriel et pas scalaire. Voilà ce que je comprends pour la colonne "quadratic" : on fait agir le groupe sur les formes quadratiques, et on regarde comment ça se découpe en représentations irréductibles. Du coup ça me va pour les formes quadratiques et linéaires

En effet, tensoriel. C’est parce que je prend le produit de deux représentations comme un produit scalaire

Pour savoir où va $R_z$, on fait agir par conjugaison le groupe sur $R_z$, en espérant qu’on trouve à chaque fois $±R_z$… ? Mais par exemple dans $D_3$, que veut dire ce $(R_x, R_y)$ ?

Qu’encore une fois, si tu ne traite pas les deux rotations ensemble, ça ne fonctionnera pas. Le "problème", c’est que c’est un peu abstrait dis comme ça. Il faut que tu imagine que pour en arriver à cette conclusion, je représente une rotation autour d’un axe comme "" (un espèce de $C_2$, en fait), et que du coup, je regarde si le sens des deux flèches du bout change (ça vaut ce que ça vaut) (ça marcherai aussi si je m’amusait à dessiner un cercle avec une flèche dedans, mais je suis nul en dessin et j’ai pas envie de me taper la honte devant mes étudiants).

Par exemple, pour $D_3$, on se rend compte que pour $R_z$ c’est facile, $C_3(z)$ laisse le sens tel quel et $C_2$ (qui est ici un $C_2$ perpendiculaire au $C_3$) l’inverse, donc que c’est $A_2$. Par contre, $R_x$ et $R_y$, dès que tu leur applique un $C_3$, c’est plus vraiment une rotation autour de $x$ ou $y$. Encore une fois, ça donne une combinaison linéaire des deux, comme pour les axes cartésien, et il se trouve que ça fini dans la même représentation. J’avoue que j’ai jamais creusé pour trouver un objet "mathématique" qui remplirait la même fonction, mais on pourrait imaginer le faire sur la matrice qui représente $C_2(z)$, par exemple EDIT: ou pas, ça serait chaud de voir que le sens trigo à changé.

Et chez nous, $D_{nh} = D_n \times \{E, \sigma_h\}$ (ou $\sigma_h$ est un plan de symmétrie perpendiculaire à l’axe principal $C_n$)