Famille sommable

Bonsoir,

Je ne comprends pas comment les familles sommables sont présentées dans mon cours.

Déjà, on défini la notion de famille sommable afin de pouvoir sommer dans n’importe quel ordre. Lorsqu’on fait des calculs de séries on utilise l’ordre de $\mathbb{N}$ et là on va définir une notion plus globale de somme pour s’affranchir de cette idée. Ok c’est clair.

Maintenant voilà en gros le plan de mon cours :

On défini d’abord la notion de sommabilité pour les familles positives puis pour les familles de complexes.

On considère donc une famille $(a_i)_{i \in I}$ avec $I$ dénombrable et les $a_i$ positifs. On dit que la famille $(a_i)_{i \in I}$ est sommable si et seulement si :

$\sup \{ \sum_{j \in J} a_j \mid J \subset I, J \text{ fini } \} \in \mathbb{R}$

Bon déjà, pour moi la définition dites comme ça est bizarre. Déjà pourquoi on impose $J$ fini ? Bon je pense avoir une réponse à cette question, c’est parce-que justement on a pas encore défini les sommes sur des ensembles quelconques. Maintenant pourquoi cette définition alors qu’elle est équivalente à (puisque $a_i \geq 0$).

La série $\sum a_n$ converge. En plus de ça on a :

$\sup \{ \sum_{j \in J} a_j \mid J \subset I, J \text{ fini } \} = \sum_{i = 0}^\infty a_i$

Donc en fait je ne comprends pas du tout pourquoi on défini d’abord la sommabilité dans le cas positif alors que justement dans le cas positif la sommabilité est équivalente à la convergence des séries. Ensuite on fait des démonstrations "compliqués" pour montrer que (par exemple) :

• Si $(a_i)_{i \in I}$ et $(b_i)_{i \in I}$ sont deux familles sommables de réels positifs alors $(a_i + b_i)_{ i \in I}$ est sommable et alors :

  $\sum_{i \in I} a_i + \sum_{i \in I} b_i = \sum_{i \in I} (a_i + b_i)$

  Pour prouver ça ils procèdent en deux temps :

1. Montrer que $(a_i + b_i)_{i \in I}$ est sommable et que l’on a :

   $\sum_{i \in I} (a_i +b_i) \leq \sum_{i \in I} a_i + \sum_{i \in I} b_i$

2. Montrer que pour tout $\epsilon 0$ il existe une partie finie $J$ de $I$ tels que : $\sum_{i \in J} (a_i+b_i) \geq \sum_{i \in I} a_i + \sum_{i \in I} b_i -\epsilon$

   Pourquoi tant d’efforts pour montrer quelque chose d’aussi évident. On ne peut pas juste dire (en utilisant l’équivalence entre sommable et serie qui converge) :

   Si $(a_i)_{i \in I}$ est sommable et $(b_i)_{i \in I}$ aussi alors (par positivité des suites) :

   $\sum_{n = 0}^{\infty} a_n = \sum_{i \in I} a_i \text{ et } \sum_{n = 0}^{\infty} b_n = \sum_{i \in I} b_i$

   Donc : $\sum_{n = 0}^{\infty} a_n + \sum_{n = 0}^{\infty} b_n = \sum_{n =0}^{\infty} a_n + b_n = \sum_{i \in I} (a_i +b_i)$

   Ou est le problème là-dedans ?

   Ensuite ils montrent le théorème de sommation par paquet pour les suites positives, qui est encore une fois évident (à démontrer et logiquement) en utilisant l’équivalence série et sommabilité.

   Ainsi ma question est : pourquoi s’embêter à définir ça pour les trucs positifs et à faire des démonstrations compliquées alors que travailler avec la sommabilité dans le cas positif est équivalent avec : travailler avec les séries. (A noter que cette équivalence se démontrer facilement et il n’y pas besoin de connaître l’associativité pour le démontrer par exemple).

   Voilà ma première incompréhension totale. Ensuite on défini la sommabilité dans le cas de suites complexes. En disant : une famille complexe $(a_i)_{i \in I}$ est sommable si $(\mid a_i \mid)_{i \in I}$ est sommable.

   Bref, si la série est absolument convergente. Pourquoi on fait une différence alors entre la série convergence absolument et sommabilité ? C’est exactement la même chose ? En gros pour moi dans ce cas là cours tiens en ligne :

   La somme d’une famille $(a_i)_{i \in I}$ est définie comme : $\sum_{n = 0}^\infty \mid a_n \mid$.

   Si vous avez des explications je suis preneur.

Merci d’avance !

Désolé j’ai pas le temps de tout lire et de répondre à tout. Donc je commence par le début

Bon déjà, pour moi la définition dites comme ça est bizarre. Déjà pourquoi on impose J fini ?

Regarde ce que ça veut dire de diverger. Ça veut dire que la suite des sommes partielles n’est pas majorée, soit exactement le fait que ton sup n’est pas majoré, c’est-à-dire ne soit pas réel.

Bonsoir,

Merci pour vos réponses.

Merci c’est intéressant. Effectivement, c’est un bon point. C’est sûrement la raison pour laquelle on introduit les familles sommables avant les probas. Parce-qu’on aura besoin de sommer par rapport à des familles d’événements et il faut alors définir rigoureusement ce que ça veut dire.

Oui je sais ce que ça veut dire diverger. Mais le problème ne vient pas de là, $J$ peut très bien être infini et la somme peut converger ($J = \mathbb{N}^*, u_n = 1/n^2$). Le problème vient juste du fait qu’on a pas défini la somme sur des ensembles infinis.

Pour la première question, oui, tu ne sais pas additionner un nombre infini d’élément avec ordre arbitraire à ce stade. Tu sais le faire comme limite de somme partielle, qui impose l’ordre.

Merci de confirmer ce que je pensais.

$\sum_n (-1)^n \frac{1}{n}$ est une série convergente, mais tu ne peux pas en faire une famille sommable.

Oui, ok. Ca vient du fait que famille sommable $\Leftrightarrow$ convergence absolue et qu’il est connu que la série harmonique diverge.

Pour les questions d’après, on n’a la relation entre série et famille sommable que si l’élément est une famille sommable. Donc tu ne peux pas utiliser ça tant que tu n’as pas prouvé que la famille de la somme des deux termes est bien une famille sommable.

Ok, d’accord. Donc en fait on utilise jamais (à part dans des exemples très particulier comme le dit @Aabu) les familles sommables. On les définie juste pour pouvoir sommer sur des ensembles quelconques, et on montre que sommer sur des ensembles quelconques est équivalent à sommer sur $\mathbb{N}$ "de manière absolue".