Différentielle extérieure d’une forme différentielle exacte

Salut !

Je ne comprends pas très bien comment montrer que $\mathrm dw = 0$ avec ce qui est expliqué dans mon cours :
La 1-forme différentielle $\omega$ est exacte ssi pour tout cycle $C$ :

$\oint_C \omega = 0$

Comme la différentielle extérieure d’une forme différentielle exacte est toujours nulle, $\omega$ est fermée : $\mathrm dw = 0$.
Le cours précise : Nous appelons cycle (simple) toute courbe orientée de Jordan, c’est-à-dire toute courbe fermée simple.
On travaille dans le plan $\mathbb R^2$.

Merci d’avance pour votre aide.

Être exacte ça signifie que $\omega =d\alpha$ et comme $d^2=0$, ça dit bien que toute forme exacte est fermée.

Ta proposition est une équivalence sur le fait d’etre exact. L’implication est facile, c’est Stokes. La réciproque

Si tu veux utiliser ce que dit ton cours tu dois vérifier que l’intégrale de $\omega$ sur un contour fermé vaut zero. Dans ce cas elle est exact.

Sinon plus simple de maniere generale tu peux directement calcul $\mathrm d\omega$

L’implication est facile, c’est Stokes.

Si j’ai bien compris comment appliquer le théorème de Stokes (avec $\partial S = C$) :

$\oint_C \omega = \iint_S \mathrm d \omega= 0 \ \ \ \implies \ \ \ \forall \ \vec p \in S : \mathrm d\omega|_{\vec p} = 0$

On en conclut que $\omega$ est fermée en tout point de l’espace (ici $\mathbb R^2$) car l’égalité de départ est valable pour tout cycle.
C’est plus ou moins comme ça qu’on peut le montrer ?

Si tu veux utiliser ce que dit ton cours tu dois vérifier que l’intégrale de $\omega$ sur un contour fermé vaut zero. Dans ce cas elle est exact.
Sinon plus simple de maniere generale tu peux directement calcul $\mathrm d\omega$

J’arrive à la même conclusion.