Moyenne du produit d'une variable aléatoire par autre chose

Salut tous !

Ma question est une question de mesures expérimentale, de bruit et de moyenne.

Je travaille sur un petit paquet de données échographiques. Je secoue ces données dans tous les sens pour y extraire ce qui m’intéresse ce qui m’amène à moyenner un peu partout. J’aimerais vérifier maintenant que je ne fais pas trop n’importe quoi

Je fais $N$^* mesures de temps de vol $\Delta t_{m, i}$ entre une référence et un obstacle, chaque mesure est faite suivant un angle de tir $\theta_i$ différent.

Les $\Delta t_{m, i}$ sont des mesures expérimentales, elles sont bruitées. On pourrait écrire …

… avec $\Delta t_i$ une mesure parfaite du temps de vol et $\Delta \Delta t_i$ la composante de bruit pour la mesure $i$ considérée.

Je suppose que mon bruit est à valeur moyenne nulle. ($<\Delta \Delta t_i> = 0$)

J’aimerais savoir si $<\Delta t_{m, i} \; cos(\theta_i)> = <\Delta t_i \; cos(\theta_i)>$ ou autrement écrit si $<( \Delta t_i + \Delta \Delta t_i ) \; cos(\theta_i)> = <\Delta t_i \; cos(\theta_i)>$. Intuitivement je dirais que oui, mais je n’en suis pas certain de moi. Qu’en pensez-vous ?

^* Imaginons que $N$ est suffisamment grand pour que moyenner ait du sens.

C'est présenté de façon un peut trop mathématique pour moi mais à priori ce que tu notes $<( \Delta t_i + \Delta \Delta t_i ) \; cos(\theta_i)>$ est équivalent à $<( \Delta t_i \; cos(\theta_i))> + <(\Delta \Delta t_i \; cos(\theta_i)) >$, donc pour un angle constant, oui on devrait pourvoir montrer assez facilement ce que tu proposes.

Mais le problème ici, c'est du coup qu'on ne sais pas vraiment comment varie $\theta_i$, de plus, rien ne prouve que cet angle n'a pas d'influence sur le bruit.

Il faudrait peut être l'avis d'un mathématicien sur ta question précise, mais si tu nous exposais un peut plus ce que tu cherches à faire avec tes mesures, ça sera plus facile de t'orienter vers les bons traitements statistiques.

Merci Akio pour ta réponse ! (Oui, oui, la formulation est un peu "mathématiques", mais je ne savais pas trop comment présenter autrement ma question ^^)

Pour un angle constant, le résultat est direct (il suffit d'écrire explicitement la moyenne comme une somme par exemple).

Voici quelques infos supplémentaires pour éclaircir ma question :

• le bruit ne dépend pas de $\theta_i$
• $\theta_i$ varie tranquillement (par exemple de 50° à 60° par pas de 0.25°)

C'est mieux comme ça ?

L'espérance d'un produit de variables aléatoire indépendantes est le produit des espérances, ce qui semble être le cas ici vu ce que tu décris.

Edit : Je sais que ce que j'affirme est bon, mais c'est plus sur l'indépendance des 2 variables que j'aurai besoin d'une confirmation, je suis rouillé en proba.

J'avais souvenir de ce résultat, mais peut-on considérer les $cos\theta_i$ comme une variable aléatoire ?

Certainement pas.

Si il y a une variable aléatoire qui peut se relier à l'angle, c'est celle qui définit l’incertitude sur l'angle de tir mais comme tu n'en parles pas, je suppose que tu considères la précision avec la quelle tu places ta référence comme absolue ou alors que son incertitude est négligeable pour le reste de tes calculs.

Comme tu nous affirmes que l'angle de tir n'a aucune influence sur le bruit du temps de vol, tu peux effectivement écrire $<(ΔΔt_icos(\theta_i))> = 0$ (enfin … si tu admet qu'il n'y a pas de biais et que l'espérance de ce bruit c'est bien 0)

On a toujours aucune idée de ce que tu veux faire avec tes mesures, mais toutes ces hypothèses sont a vérifier (espérance du bruit = 0, angle de tir indépendant du bruit, etc …).

Oki d'oki !

Est-ce que c'est quelque chose qui se généralise (d'un point de vue mathématiques) ? Est ce que l'espérance du produit d'une variable aléatoire (v.a.r) par quelque chose qui n'est pas une v.a.r est égale au produit de chacune des espérances ?

Je 'e suis pas certain de comprendre ta question. Mais ce qui est certain, c'est que l'espérance est linéaire, donc si tu multiplies une variable aléatoire par une constante, ton espérance sera multipliée d'autant.

Mais que se passe-t-il lorsque l'on multiplie la variable aléatoire par quelque chose qui n'est pas constant ?

Par exemple, imaginons qu'on lance une pièce plusieurs fois. Pile fait gagner 1 point, face fait perdre 1 point. Si je joue une infinité de fois à ce jeux, l'espérance de mon score est nulle.

Si maintenant on compte le score différemment, au $k^\text{ième}$ essais, pile fait gagner $k$ points, face fait perdre $k$ point. Quelle est l'espérance de ce jeux ?

Et si on généralise encore plus, si au $k^\text{ième}$ essais, pile fait gagner $f(k)$ points, face fait perdre $f(k)$ point, quelle est l'espérance de ce jeux ? (Avec $f$ une fonction a priori quelconque.)