Exprimer la norme d'un vecteur égale à la somme de deux vecteurs

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Salutations.

Dans la finalité de compléter l'exercice d'un QCM duquel l'échéance se rapproche dangereusement telle la courbe de la fonction inverse de l'axe des abscisses, je dois parvenir à exprimer la norme de deux vecteurs, IL et IM(je ne sais pas faire les flèches au dessus).

Or, sachant que:

IL = 2IJ -3IK

IM = -IJ +4IK

IJ = 3

IK = 2

Peut-on en conclure la norme de IL, de IM, ou au moins la valeur de ML2 ou de (IM + IL)2 ?

Merci

Édité par Loulimi

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Hum, dans ce cas l'échéance de ton QCM n'arrivera jamais vraiment.

Tu ne l'as pas précisé, mais j'imagine que les vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$ sont supposées connues. En l'absence d'hypothèses supplémentaires, on ne peut rien dire sur la norme de $\vec{IL}$ et $\vec{IM}$, car une norme n'a pas de propriété évidente qui permette de « déparer » les termes d'une somme. Tout ce que l'on peut faire, c'est majorer avec une inégalité triangulaire.

Enfin, pour les vecteurs $\vec{ML}^2$ et $\overrightarrow{IM+IL}^2$, il faut d'abord les exprimer en fonction de vecteurs supposés connus (en l'occurrence $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$) à l'aide de la relation de Chasles notamment. Ensuite, selon l'expression obtenue, il sera possible ou non de déterminer leur norme. Pour ce faire, il faudra faire appel à un argument de colinéarité. S'il y a colinéarité, les normes seront bien sûr proportionnelles. Dans le cas contraire, on ne peut pas conclure en général.

Auteur du sujet

Hum, dans ce cas l'échéance de ton QCM n'arrivera jamais vraiment.

C'est un détail… ^^

Tu ne l'as pas précisé, mais j'imagine que les vecteurs IJ→ et IK→ sont supposées connues. En l'absence d'hypothèses supplémentaires, on ne peut rien dire sur la norme de IL→ et IM→, car une norme n'a pas de propriété évidente qui permette de « déparer » les termes d'une somme. Tout ce que l'on peut faire, c'est majorer avec une inégalité triangulaire.

Pardon, tu as raison, j'ai indiqué leur valeur dans le premier post.

Quant à la majoration et à l'argument de colinéarité, je ne suis pas sûr d'avoir compris. Je sais que deux vecteurs colinéaires ont pour produit scalaire le produit de leur norme négatif ou positif, mais que veux tu entendre par proportionnelles?

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Quant à la majoration et à l'argument de colinéarité, je ne suis pas sûr d'avoir compris. Je sais que deux vecteurs colinéaires ont pour produit scalaire le produit de leur norme négatif ou positif, mais que veux tu entendre par proportionnelles?

Loulimi

Eh bien, comme tu le sais sans doute, deux vecteurs colinéaires ont des coordonnées proportionnelles. Naturellement, il en va donc de même pour les normes de ces deux vecteurs. Il n'est pas nécessaire de faire appel aux propriétés du produit scalaire pour cela. Pour la majoration, je parlais de la deuxième inégalité triangulaire (ou plus simplement « inégalité triangulaire »), qui affirme que quels que soient les vecteurs $u$ et $v$, la norme de $(u+v)$ est plus petite que la somme des normes de $u$ et $v$, avec égalité si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires, ce qui rejoint ma remarque juste au-dessus.

Cela étant dit, même avec les normes de IJ et IK, il n'est pas possible en général de calculer la norme de combinaisons de ces deux vecteurs, car justement la norme d'une somme n'est pas égale à la somme des normes, sauf en cas de colinéarité. Donc dans ton exercice, sauf si tu as oublié d'autres infos, on ne peut pas conclure a priori.

Auteur du sujet

Ce n'est pas vraiment un exercice, c'est une méthode que j'ai essayé d'appliquer pour résoudre cet exercice, qui ne fonctionne pas du fait qu'il est impossible d'exprimer la norme d'un vecteur de cette façon. J'ai appliqué une autre méthode qui s'appuyait sur d'autres données de l'énoncé et je suis finalement parvenu à mes fins (le cosinus de JIK était donné).

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