Un problème, complexe.

Bonjour,

Mon entrée en L1 de maths se fait bien, mais je bloque sur un exercice atypique par rapport à ce qu'on a fait sur les complexes. Je sens que je suis pas loin, mais impossible de trouver la solution.

Première question : Résoudre $(E) : z^5=1$ dans $\mathbb C$. Pas de problème.

Deuxième question : Montrer que si $z$ est solution de $(E)$, alors $\displaystyle{\overline{z}=\frac{1}{z}}$. Fais.

Troisième question : Montrer que si $z$ est solution de $(E)$, alors $1+z+z^2+z^3+z^4=0$. Fais aussi.

En déduire alors que $1+z+\overline{z}+z^2+\overline{z}^2=0$. C'est à partir de là que le bât blesse. En partant de l'égalité du dessus, et en multipliant par $\overline{z}$, j'arrive à $1+z+\overline{z}+z^2+z^3=0$. En utilisant le conjugué, j'obtiens : $1+z+\overline{z}+\overline{z}^2+\overline{z}^3=0$. Et je ne sais pas quoi faire d'autre ensuite pour faire apparaître le $z^2$.

Quatrième question : Montrer que $1+z+\overline{z}+z^2+\overline{z}^2=4\cos^2{\theta}+2\cos{\theta}-1$. J'utilise l'identité d'Euler et Moivre et j'arrive à $2\cos^2{\theta}+2\cos{\theta}+1$. La trigo n'a jamais été ma tasse de thé, je suppose que je dois louper une de ces innombrables formules; mais je sèche.

Voilà voilà, merci d'avance pour votre aide !

Mon sauveur.

Oui, $\displaystyle{\theta \equiv 0 \pmod{\frac{2\pi}{5}}}$, donc il vaut $\frac{2\pi}{5}$ entre autres. A vrai dire, pour la quatrième question, c'est moi qui avait fait une connerie quand j'ai utilisé Moivre. On a évidemment pas $\cos{2\theta} = \cos^2{\theta}$ en général.

J'ai finalement pu trouver en appliquant correctement Euler puis en pensant que $\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta}-1$, merci !

Pour la troisième question, j'avais donc eu la bonne idée, en multipliant par $\overline{z}$… Si seulement j'avais pensé multiplier une deuxième fois par $\overline{z}$ cette fichu égalité, au lieu de partir dans des conjugués… Merci également !

Problème résolu.

Bonjour Why Not?, Cet exercice semble avoir été fait par quelqu'un qui en connait plus que toi sur la question et qui se permet de te faire balader en faisant une réécriture de la troisième question. Il s'agit des racines de l'unité de degré 5. Juste pour te donner un lien racines de l'unité. Sinon pour résoudre la question, tu résous l'équation 1 avec la forme exponentielle des complexes. Tu comprends alors le lien fort entre ces racines-là et le Z/5Z de l'arithmétique. La personne qui t'a posé s'est peut-être bien gardé de te l'exposer et à la place t'oblige à te casser les dents avec des formules de trigonométries. J'espère que je n'ai pas été méprisant à son égard :). A +.

Je t'avoue que ton explication n'est pas bien claire pour moi fuijiy.. Que voulais-tu dire dis moi ?

Je pense qu'il voulait mettre en lumière les liens qui existent entre les racines 5-ièmes de l'unité, i.e. l'ensemble (appelons-le $E$) des nombres complexes $z$ tels que $z^5 = 1$ et le groupe additif $\mathbb Z/5\mathbb Z$. En effet, l'ensemble $E$ est un groupe multiplicatif, dans le sens où le produit de deux racines cinquièmes de l'unité est encore une racine cinquième de l'unité. En effet, si deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ sont racines de l'unité, alors $z_1^5 = 1$ et $z_2^5 = 1$, donc $(z_1z_2)^5 = z_1^5\cdot z_2^5 = 1$. L'élément neutre de ce groupe est bien sûr le nombre complexe 1. En outre, avec les écritures exponentielles, $E$ s'écrit $E = \{e^{2i\pi/5}\in\mathbb C \; |\: i\in\{0, …, 4\}\}$

D'autre part, $\mathbb Z/5\mathbb Z$ est également un groupe, mais additif celui-là. Comme $E$ et $\mathbb Z/5\mathbb Z$ ont des cardinaux égaux, ils peuvent être mis en bijection. Il y a un isomorphisme, disons $f: E\to \mathbb Z/5\mathbb Z$, entre les deux, défini par $f(e^{2i\pi/5}) = i$. Le fait que ce soit un morphisme provient des propriétés de l'exponentielle, tu peux essayer de le démontrer. Le côté « iso » provient directement de l'égalité entre les cardinaux.

En algèbre, dire qu'une application est un isomorphisme entre deux structures (ici, des groupes) revient à dire que les deux groupes ont le même comportement, les même propriété, etc. Bref, cela revient à dire qu'en fait, les deux groupes sont identiques dans leur structure. Ainsi étudier l'un équivaut à étudier l'autre. Ici, je pense donc que fuijiy voulait te signaler que tu aurais pu montrer la propriété dans $\mathbb Z/5\mathbb Z$ au lieu de la montrer dans $E$, ce qui t'aurait simplifié les calculs car dans $\mathbb Z/5\mathbb Z$, la loi est une addition (modulo 5 évicdemment), ce qui est plus facile.

J'ai donné toutes ces explications pour éclairer le contexte. Néanmoins, je dois dire que je ne suis pas convaincu par cet argument. Il y a des barrières théoriques, notamment parce que si $z$ est une racine 5-ième de l'unité, il est faux en général que $\overline z$ en soit une aussi (sauf lorsque $z = 1$…). Donc comment faire pour définir un conjugué dans $\mathbb Z/5\mathbb Z$ ? [Erratum : J'a dit n'importe quoi. Évidemment, si $z$ est une racine de l'unité, disons $z = e^{2i\pi/5}$, alors $\overline z = e^{-2i\pi/5}$ en est une aussi !] Par contre, comment définir un cosinus ?

En fait, l'argument de fuijyi tombe parce que la structure géométrique de $E$ est plus riche (dans le sens où elle contient davantage d'opérations : conjugaison, cosinus, etc.) que celle de $\mathbb Z/5\mathbb Z$. L'isomorphisme entre les deux ne touche qu'à la structure de groupe, les propriétés géométriques lui échappent.

Excuses-moi WhyNot, j'ai été trop rapide dans ma réponse. La nuit portant conseils, une des solutions possibles purement algébrique est de multiplier l'équation 3 par $ \overline{z²} $.

Une autre solution possible, c'est sachant l'isomorphisme (d'anneaux ) entre Z/5Z et les racines 5-ième, de se dire que passer à l'exposant 4 c'est comme passer à l'exposant -1 (parce modulo 5, $ 4 = -1 [5] $) et pour 3, c'est comme passer à l'exposant -2. On voit directement naitre l'équation 4.

Merci c_pages de me tempérer un peu, (je ne sais pas pourquoi j'ai été si méchant avec le professeur !). Juste pour dire que c'est mieux qu'un isomorphisme de groupe mais un isomorphisme d'anneau ! Et la traduction du conjugué dans Z/5Z, c'est multiplier par -1 ! :).

A+

Tout cela m'a l'air très intéressant. Malheureusement, isomorphisme, anneau, groupe, $\mathbb Z/5\mathbb Z$ sont des termes et notions qui me sont inconnus. Je verrai ça sûrement plus tard en cours, ou bien j'essaierai de m'y pencher.

Merci quand même pour ces précisions.