Notation d'une variable imaginaire i

Bonjour à tous !

Dans mon cours de math, j’ai été choqué de voir écrit noir sur blanc : $i = \sqrt{-1}$

Cette notation est-elle discutable ou bien parfaitement définie ?

Les deux.

Déjà chez les américains c’est une notation usuelle.

Techniquement elle est fausse (parce qu’on ne peut pas distinguer i et -i) et en même temps du coup, elle est intéressante parce qu’on voit que i et -i sont très symétriques l’un de l’autre. Mais ça, c’est plus pour appeler de la théorie de Galois.

En fin de compte, et comme toujours, faut se poser une unique question : est-ce que ça crée de l’ambiguité ?

Si oui, alors ça va pas. Si non alors c’est ok. Mais la réponse change selon le contenu, et donc c’est à toi de le faire.

Mm, pas plus que d’écrire $1=\sqrt{1}$, soit on considère que la racine est multivaluée, soit on force l’argument de sortie à être dans $[0,\pi[$. Dire que c’est faux techniquement me parait hâtif.

Comme la solution $x^2=-1$ n’est pas unique, on ne peut pas écrire $i=\sqrt{-1}$ comme si ça l’était, c’était ce que j’entendais.

Dans le cas de $1=\sqrt{1}$ la différence est qu’on a déjà sous-entendu un choix (à savoir celui que la racine doit être positive), alors que ce choix n’est pas transposable pour les complexes en général.

Ce que tu dis, c’est qu’on ne peut pas s’en servir comme d’une définition. C’est complètement différent de pouvoir l’écrire une fois tous les objets définis, ce qui ne pose aucun problème technique particulier.

Le problème avec cette notation, c’est qu’il faut faire gaffe dans les calculs. Certaines propriétés des racines réelles ne sont plus valables. J’en parle ici dans mon tuto. On ne peut pas utiliser $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$

Holosmos quand tu dis que les américains utilisent cette notation, ils l’utilisent dans les calculs ? Dans ce cas faut bien faire gaffe aux règles applicables ou non.

Oui ils font attention.

Et en fait ce ne sont pas les seuls. Quand on regarde les écrits de Cauchy par exemple, c’est pareil

Comment pourrait-on définir proprement $i$ ?

Tu peux le définir comme n’importe laquelle des solutions de $x^2=-1$ et noter l’autre $-i$. Comme les deux sont indiscernables le choix n’a pas d’importance.