Proposition d'exercice

Tous les entiers dont le dernier chiffre est 1, 3, 7 ou 9 admet un multiple qui ne s'écrit qu'avec des 1

a marqué ce sujet comme résolu.

Bonjour à tous !

Suite à ma promesse de vous proposer des exercices de maths un peu chouettes, je commence aujourd'hui avec un exercice d'arithmétique élémentaire que j'aime bien.

Introduction au problème

Je vous propose de démontrer que tout nombre entier naturel $p$ dont le dernier chiffre est un 1, un 3, un 7 ou un 9 admet un multiple qui ne s'écrit qu'avec des 1. Par exemple, 111 est un multiple de 3 qui ne s'écrit qu'avec des 1 et 111 111 est un multiple de 7 qui ne s'écrit qu'avec des 1. Ainsi, je vous propose de démontrer que cette propriété (que je trouve assez amusante :-° ).

Sur le plan théorique, la démonstration que je connais de ce résultat demande assez peu d'outils : il faut connaître la notion de congruences, les principaux théorèmes élémentaires d'arithmétique et être à l'aise avec les notions de bijection et d'injection. Néanmoins, sans indications, il me paraît difficile de trouver seul par où démarrer. C'est pourquoi je vais essayer de vous guider en décomposant l'exercice en questions. Afin de ne pas gâcher le plaisir de ceux qui voudraient ne pas être aidés, je mets cette décomposition en secret. En fait, il y a deux niveaux d'aides. Dans la première balise secret, il y aura simplement l'idée générale pour commencer à réfléchir. Dans la deuxième balise, je mets des questions un peu plus guidées pour aider à la recherche.

En outre, si certains d'entre vous trouvent la solution rapidement, je vous invite plutôt à l'indiquer au début de votre post pour ne pas spoiler ceux qui ne voudraient pas l'être.

Mais avant, quelques considérations annexes. En premier lieu, on pourrait se demander pourquoi ce résultat n'est pas vrai lorsque le dernier chiffre de $p$ est autre chose qu'un 1, un 3, un 7 ou un 9. Si le dernier chiffre est un nombre pair, tous ses multiples sont pairs donc ne peuvent pas s'écrire qu'avec des 1 (le dernier chiffre d'un multiple d'un nombre pair devant être pair). De même, si $p$ se termine par un 5, cela veut dire que $p$ est un multiple de 5, et donc les multiples de $p$ aussi doivent être des multiples de 5, donc leur dernier chiffre doit être un 0 ou un 5.

Enfin, j'ajoute que cette propriété que nous allons démontrer consiste l'écriture des nombres. Autrement dit, elle n'est vraie qu'en base 10. Si j'écris mes nombres dans une base différente, elle devient fausse.

Indications d'ordre général

Voici donc des indications d'ordre général :

L'astuce consiste à considérer l'application $\phi: \mathbb Z/p\mathbb Z \to \mathbb Z/\mathbb Z$ définie par $\phi(n) = 10n+1 [p]$ et à l'itérer afin de construire la suite 1, 11, 111, 1111, … Il faudra étudier le comportement de l'application $\phi$ et ses propriétés arithmétiques modulo $p$, où $p$ est un entier dont le dernier chiffre est 1, 3, 7 ou 9.

Indications plus détaillées

Pour ceux qui voudraient une aide plus précise, je vous propose de vous guider dans la démonstration. Il suffit de dérouler le texte ci-dessous.

Soit $p$ un nombre entier naturel dont l'écriture décimale se termine par 1, 3, 7 ou 9. On définit $\phi: \mathbb Z\to \mathbb Z$ par $\phi(n) = 10n+1$ et $\phi_p: \mathbb Z/p\mathbb Z \to \mathbb Z/p\mathbb Z$ par $\phi_p(n) = 10n+1 [p]$. Essayez de calculer les valeurs $\phi(0), \phi(1)$, etc. pour comprendre ce que fait cette suite.

  1. Montrer que si $p$ est un nombre premier, alors l'application $\phi_p$ est bijective.
  2. On ne suppose plus que $p$ est premier, mais simplement qu'il s'écrit $p = 10k+q$, avec $k\in\mathbb N$ et $q \in\{1, 3, 7, 9\}$. Montrer que l'application $\phi_p$ est encore bijective.
  3. On pose $a_0 = 0$, $a_1 \equiv \phi_p(a_0)\; [p]$, et pour tout $n\ge 1, a_n \equiv \phi_p(a_{n-1})\; [p]$. Montrer qu'il existe deux entiers naturels $u$ et $v$ tels que $a_u = a_v$. Posons alors $T=v-u$ ; montrer que $a_{T}\equiv 0 \; [p]$.
  4. Enfin, démontrer que le nombre entier $11…11$, où il y a $T$ fois le chiffre 1 est un multiple de $p$. Pour ce faire, on pourra calculer le nombre $\phi\circ\phi\circ…\circ\phi(0)$ (où l'application $\phi$, et pas l'application $\phi_p$) est itérée $T$ fois, puis l'étudier modulo $p$.

Conclure !

Voilà de quoi vous occuper pour la soirée ! :p

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