Analyse du comportement asymptotique grand O

Bonjour,

J’apprends les notions asymptotiques de grand O (en $x \to \infty$) et j’aimerais vérifier que : $\sqrt{x} = O(x^{0,9})$

Or, je sais que $\sqrt{x} = O(x)$ puisque la croissance de $x$ est plus grande que celle de $\sqrt{x}$ lorsque $x$ devient suffisamment grand.

Donc si je compare la croissance de $\sqrt{x}$ avec celle de $x^{0,9}$, j’en déduis que l’égalité est vérifiée car lorsque $x$ devient grand : $\dfrac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x}) \leq \dfrac{\partial}{\partial x} (x^{0,9})$

C’est bien ça l’idée ?

Salut,

Si on revient à la définition, il te faut montrer qu’il existe une constante $C$ telle que $\left|\sqrt{x}\right| \leq C\left|x^{0{,}9}\right|$ quand $x$ est grand. Tu peux donc étudier le rapport $\frac{\sqrt{x}}{x^{0{,}9}}$ (sachant que $\sqrt{x}$ est égal à $x^{0{,}5}$).

De plus, ta méthode ne marche pas. Prenons par exemple $f(x) = \frac{x}{2}$. Sa dérivée est constante égale à $\frac{x}{2}$. D’un autre côté, prenons $g(x) = x + \cos(x)$. On a $g(x) > x - 1$ et donc clairement $f(x) < g(x)$ à partir d’un certain rang, mais $g'(x) = 1 - \sin(x)$. Et donc pour tout entier $n$, $g'(2\pi n + \frac{\pi}{2}) = 0 < f'(2\pi n + \frac{\pi}{2})$.

Salut,

il me semble qu’il faille comparer les fonctions, et pas leurs dérivés.

Evidemment, l’un découle de l’autre, mais je pense qu’il faudrait préciser que 2^1/2 < 2^0.9 et que sa dérivée est inférieure sur [2;+infini[ => x^1/2 < x^0.9.

Peut être que l’un implique l’autre, je ne sais pas.

Ça m’apprendra à écrire fatigué…