Comparer deux ordres de grandeur très grands

Bonjour,

Je cherche à vérifier cette affirmation :

Il y a autant de mélange possible d’un jeu de 52 cartes que d’atomes dans la Voie Lactée. (grosso modo)

Nombre de mélanges possibles : $\ 52! \approx 8,07 \times 10^{67}$

Mon intuition, c’est qu’il existe beaucoup plus d’atomes dans la Voie Lactée et que les ordres de grandeurs dans l’affirmation ne sont pas comparables, donc que l’affirmation est fausse. La difficulté est de calculer puis comparer deux ordres de grandeurs très grands.

Soit $N_{atomes}$ une approximation par le bas du nombre réel d’atomes dans la voie lactée.

Si l’on trouve $\dfrac{52!}{N_{atomes}} \leq 0,001$, alors on supposera que la démo est réussie.

Une idée, des pistes pour approximer le nombre d’atomes dans la voie lactée ?

Wikipédia a un article sur les ordres de grandeur, qui parle de $10^{50}$ atomes sur la terre et $10^{80}$ estimés dans l’univers; l’affirmation de 10^70 atomes dans la galaxie semble donc crédible. Malheureusement l’article ne cite pas suffisamment ses sources donc on ne peut pas répondre à ta question (comment faire cette approximation ?).

Passer par les océans ne me semble pas pouvoir marcher, puisque tu compterais juste les atomes à la surface de la terre, alors qu’il y a sans doute plus d’atomes dans le manteau et le noyau. Pour estimer le nombre d’atomes sur terre, je chercherais le poids de la terre (on doit avoir des données assez précises là-dessus, pour les calculs de trajectoires de fusées et satellites), et je ferais une estimation à partir des proportions d’éléments chimiques dominants sur et dans la terre — ça te donne la masse de chacun de ces éléments, à partir de laquelle on peut calculer le nombre d’atomes.

Je me disais qu’il est possible d’approximer ce nombre d’atomes en comptant d’abord le nombre de molécules d’eau dans tous les océans (chiffres ici), puis en multipliant par trois. Ensuite, dire que la Terre étant faite de 70% d’eau, en approximer le nombre d’atomes sur Terre.

Attention, la surface de la Terre est constituée de 70% d’eau, pas la Terre entière. La quantité d’eau rapportée à toute la masse de la Terre est infime.

Peut-être serait-il plus probant de prendre la composition et les masses totales du noyau, manteau et croûte, et de jouer avec ces valeurs, pour avoir une estimation du nombre d’atomes sur Terre. Mais la Terre est une petite planète. On pourrait se dire que ça ne change pas grand chose, mais on saute tout de même trois ordres de grandeur de masse entre la Terre et Jupiter. La généralisation n’est donc peut-être pas si triviale que ça, au niveau de la masse de toutes les planètes du système solaire.

Mais — vu que la masse du système Solaire, c’est 99,8% le Soleil, 0,01% Jupiter et 0,01% le reste (de mémoire, ou pas loin), peut-être que ne considérer que les étoiles, c’est suffisant. Ce qui simplifierai déjà le calcul, même s’il faut prendre en compte les différentes masses des étoiles (ça varie beaucoup, et encore plus ; je ne sais plus trop en quelles proportions donc c’est à vérifier…).

En cherchant rapidement sur internet on trouve une masse terrestre d’environ $6.10^{24}$kg, et une composition avec le fer comme élément dominant à 32.1% (un tiers, en gros); donc environ $2.10^{24}$kg de fer sur terre. Le fer a un poids molaire de 55g/mol, donc ça fait à la louche $4.10^{25}$ moles de fer, on multiplie par le nombre d’atomes par moles $6.10^{23}$, ça fait en gros $2.10^{49}$ atomes de fer sur terre, alors qu’il y a un tiers de fer. C’est très cohérent avec l’ordre de grandeur de $10^{50}$ atomes proposé.

J’avais trouvé environ $1,4 \times 10^{47}$ atomes dans les océans, du coup le $10^{50}$ semble bien tenir la route pour la planète entière.

Salut,

La masse du Soleil étant d’environ $10^{30}$ kilogramme, qu’il est composé en gros d’hydrogène (donc 1 g/mol), ça fait environ $10^{28}$ atomes par kilogrammes, donc un total de $10^{58}$ atomes dans le Soleil. Une galaxie comptant 100 milliards d’étoiles ($10^{11}$), ça fait en gros $10^{69}$ atomes dans la galaxie. Quand on en est à calculer l’ordre de grandeur du nombre d’atomes dans une galaxie, on s’en fout pas mal de savoir si ce sont des atomes d’hydrogène ou de fer (deux ordres de grandeurs d’écart…), ou de compter les planètes (quelque pourcents au max), ni même la taille moyenne des étoiles (là aussi, au pire 2 ou 3 ordres de grandeurs).

Perso, je m’imagine déjà pas bien la différence entre $10^{50}$ et $10^{70}$ de toute façon…

Ça n’a l’air de rien, mais ça fait 20 ordres de grandeur et c’est si colossal qu’on ne peut même pas se l’imaginer. Par exemple, un nm (10^-9 m) c’est la taille d’une molécule type glucose, et c’est si petit qu’on peut difficilement se l’imaginer. Et 10²⁰ nm, ça fait 10⁸ km, et c’est les 2/3 de la distance Terre-Soleil, et c’est si énorme qu’on peut difficilement se l’imaginer.

Donc, 10⁵⁰ et 10⁷⁰ sont deux nombres qui n’ont absolument rien à voir tant ils sont différents.

PS : Wolfram Alpha donne « 4 x 10⁶⁸ atomes dans la Voie Lactée » (en supposant une masse de 9.5 x 10⁴¹ kg et une « universal abundance »).

Une méthode plus simple pour estimer le nombre d’atomes dans la voie lactée serait de prendre sa masse, estimer la proportion de cette masse qui est sous forme d’atome et finalement utiliser la proportion des différents types d’atomes dans la voie lactée ainsi que leur masse molaire pour obtenir le nombre d’atomes dans la voie lactée.

Pour la masse, Wikipedia donne une estimation de $1.5 \times 10^{12}$ masses solaires, soit $2.98 \times 10^{42}$ grammes. Le dernier paragraphe indique qu’on estime que 90% est de la matière noir (donc pas des atomes). Dans les 10% restants, il y a des trous noirs, des étoiles à neutrons et probablement plein d’autres trucs qui ne sont pas composés d’atomes, mais vu que je n’ai aucune idée de si ça représente une proportion significative de la masse de la galaxie, on va supposer que ce n’est pas le cas. Ça nous donne $2.98 \times 10^{41}$ grammes d’atomes dans la galaxie.

Niveau composition, on peut simplement supposer que toute cette masse est sous forme d’hydrogène. Vu que la masse molaire des atomes les plus lourds n’est que d’environ 200 fois celle de l’hydrogène on ne peut pas se tromper de plus de 2 ordres de grandeur. De plus, le soleil (et la majorité des étoiles) est composé essentiellement d’hydrogène et d’hélium, donc c’est une simplification qui n’est probablement pas trop mauvaise. Avec une masse molaire d’environ 1g par mole ($6 \times 10^{23}$ atomes), on obtient une estimation de $1.79 \times 10^{65}$ atomes dans la voie lactée.

On peut noter que les estimations faites vont dans le sens d’une surestimation.

Donc, 10⁵⁰ et 10⁷⁰ sont deux nombres qui n’ont absolument rien à voir tant ils sont différents.

Ben oui, évidemment, ce que je dis c’est qu’on se retrouve avec un nombre qu’on peut même pas interpréter. C’est facile pour nous de voir la différence entre $10^{-10}$ m et $10^{10}$ m parce qu’on est en plein milieu, mais la différence entre $10^{50}$ et $10^{70}$ (passer de la planète à la galaxie, en gros), ben on ne peut pas se l’imaginer sans se ramener comme tu le fait à notre échelle.

Du coup on sera tous d’accord qu’entre $8 \times 10^{67}$ et un chiffre autour de $10^{68}$ à un facteur 10 (ou 100) prés ça reste une affirmation plutot juste et franchement sympa  !

Pour décrire l’énormité du nombre de mélange possible d’un jeu de 52 cartes on peut remarquer que si depuis le début de l’univers ($4 \times 10^{17}$ secondes) chaque humain actuellement vivant ( $8 \times 10^9$ humains) avait fait un mélange par seconde et bien parmi les $3.2 \times 10^{27}$ mélanges réalisé la probabilité d’en avoir eu un en double est quasi-nul !

edit: Et quand je dis "quasi-nul" c’est pas excès de "rigueur" par ce qu’on parle d’une probabilité de l’ordre de $10^{-40}$… hum hum…

En effet au final l’affirmation de base semble tenir la route, mais c’est un calcul beaucoup plus compliqué qu’il n’y paraissait au premier abord.

Savons-nous d’abord répertorier tout ce qui existe dans la Voie Lactée ?

Savons-nous d’abord répertorier tout ce qui existe dans la Voie Lactée ?

Compter les étoiles, on sait faire. C’est suffisant pour avoir une première estimation comme montré dans mon message. Le reste par contre, c’est plus difficile. Les exoplanètes ça a fait pas mal de progrès depuis la première observation dans les années 90, mais c’est encore difficile de connaitre la distribution statistique à cause de biais d’observations liés aux méthodes de détection. Compter les étoiles à neutron, les quasars et autres truc qui émettent beaucoup de lumière, ça va aussi. Par contre, les trous noirs et les nuages interstellaires, c’est plus difficile comme ça n’émet pas grand chose et qu’il y a pas des tonnes d’observations indirectes possible. Et bien sûr, toute la masse pour l’instant attribuée à la matière et l’énergie noire reste un mystère. Est-ce que c’est simplement l’illustration d’un problème théorique et rien de réel, ou bien quelque chose de tangible mais que l’on ne connait pas encore, ou un peu des deux, on n’en sait rien.