Tuto: Les nombres complexes

Bonjour à toutes et à tous,

Je viens ici vous présenter un projet de tutoriel concernant, comme le titre l'indique, les nombres complexes.

Les nombres complexes sont devenus incontournables aujourd'hui en mathématiques, on les retrouve dans les résolutions d'équations, dans les fractales, dans les équations de plan, etc

Le tuto n'en est qu'à ses débuts, j'attends tout de même vos premières réactions

Lien du Tuto

Merci d'avance

Coucou

Je commence la lecture, déjà on arrive sur des problèmes de notations.

• En tout logique, $P(x)$ est un nombre et non un polynôme qu'il faudrait alors noter $P$.
• "polynôme quadratique" ? Erreur de vocabulaire je crois : polynôme de degré 2.
• Évite les abréviations comme càd lorsque tu peux les écrire en toutes lettres sans trop perdre de temps.
• Petite faute d'orthographe : "l'équation n'admet pas de solution réelle" (pas de "s" à "solution" et "réelle")
• Si tu écris $x_{1,2} = 1\pm 2$ par exemple alors il faut ensuite mettre $x_{1,2} \in \{ 1\pm 2\}$ et non un signe d'égalité.
• $\Delta$ a un nom : le discriminant, pourquoi ne pas le dire pour expliquer les notations ?

Je me suis arrêté au début des polynômes de degré $3$, je reprendrai plus tard

Alors,

En tout logique, $P(x)$ est un nombre et non un polynôme qu'il faudrait alors noter $P$.

Oui, petite erreur de recopiage

"polynôme quadratique" ? Erreur de vocabulaire je crois : polynôme de degré 2.

Euh bonne question, on parle bien d'équation quadratique donc… Enfin j'ai déjà entendu "polynôme quadratique", "polynôme de degré 2" et le traditionnel "polynôme en x carré"

Évite les abréviations comme càd lorsque tu peux les écrire en toutes lettres sans trop perdre de temps.

Petit oubli corrigé

Petite faute d'orthographe : "l'équation n'admet pas de solution réelle" (pas de "s" à "solution" et "réelle")

Discutable, discutable, enfin si ça te turlupine tant que ça

Si tu écris $x1,2=1±2$ par exemple alors il faut ensuite mettre $x1,2∈{1±2}$ et non un signe d'égalité.

Rien compris, réexplique stp

$\Delta$ a un nom : le discriminant, pourquoi ne pas le dire pour expliquer les notations ?

Discriminant, réalisant, c'est pas la même chose ?

Oui hein, ne t'inquiète aps, tu as tout le temps

Équation quadratique oui, forme quadratique oui mais polynôme quadratique non … en tout cas pas à ma connaissance et à celle des sites que j'ai regardé.

Non c'est pas discutable :p. Y en a pas donc y en a pas plusieurs … donc pas de "s" !

Et bien si tu as deux solutions $x_1$ et $x_2$ que tu exprimes sous la forme $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ alors ne mets pas ensuite $x_{1,2} = \{ \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \}$ comme tu as pu le faire. L'équivalence est en fait $x_{1,2} \in \{ \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \}$

Réalisant je connais pas le terme … En tout cas j'ai pas vu que tu disais "soit $\Delta$ le machin de l'équation".

C'est que c'est du Belge alors

Ceci est-il plus correct ? $ x_{1,2} = \frac{-2}{2}$
$ S = \left\{-1\right\} $

Posons $ \Delta $ valant le contenu de la racine, cest-à-dire $ \Delta = b^2-4ac $
$\Delta $ est appelé réalisant de l'équation (quadratique)

Jamais entendu parler de réalisant personnellement. Discriminant me semble incontournable comme terme.

Sinon, pour l'histoire des $x_{1,2}$, je pense que c'est plus perturbant qu'autre chose.

Pourrais-tu remettre le tutoriel en bêta ?

Tu peux mettre $S$ mais comme ça non. Dis au moins que l'ensemble des racines, $S$, est : …

@Vayel Il est plus en bêta ? ???

@Holosmos Oui mais j'ai dû zapper qqch en notant sérieux, pcq c'est noté $ S = $ pour les équations cubiques…

Il faut bien veiller à mettre à jour le lien.

Sinon, ton tutoriel parle des complexes, mais je n'en aperçois aucun.

Ceci peut t'intéresser.

J'l'ai mis à jour, voilà pq je m'insurge !

Nan nan je sais, il n'en parle pas encore pcq il n'en est qu'à l'intro qui explique la "découverte" des nombres complexes

Je ne suis pas certain que passer par une équation du second degré soit une manière judicieuse d'introduire les complexes : c'est trop indirecte à mon goût.

Actuellement, quand je lis le tutoriel, je remonte pour vérifier le titre et qu'il s'agit bien d'un cours sur les éléments de $\mathbb C$.

Commencer par une construction de l'ensemble et quelques considérations basiques - $\mathbb R \subset \mathbb C$, analogie avec $\mathbb R^2$, i… - me semble plus pertinent.

Ben j'pourrais dire aussi

Alors voilà, j'vais vous présenter $ \mathbb C$, c'est une extension à l'ensemble $\mathbb R$, on les note sous la forme $a+ib$ avec $a$ la partie réelle (notée $\Re $) et $b$ la partie imaginaire (notée $\Im$) tel que si $b$ est nul, alors le nombre est réel tandis que si $a$ est nul, alors le nombre est appelé imaginaire pur Mais c'est pas bcp mieux je trouve

Je pense qu'on peut trouver un compromis intéressant : celui de l'extension quadratique.

On explique que $x^2 = -1$ n'admet pas de solution réelle et donc on crée un autre corps, $\mathbf{C}$ aux propriétés similaires à $\mathbf{R}$ mais qui comporte une solution à cette équation, $\boldsymbol{i}$.

On peut aussi passer par des matrices, ce qui pourrait donner une suite sur les quaternions (etc) de manière assez sympathique =)

Alros, oui j'étais justement en train de repartir comme ça… En disant que certaines équations n'admettent pas de solution de $\mathbb N$ mais bien dans $\mathbb Z $ alors que d'autres sont impossibles en $\mathbb N \mathbb Z$ mais bien en $\mathbb Q$ etc

Et la notion matricielle est le sujet de la partie 2, définitions et propriétés

Pour l'ensemble $\mathbb H$, faut d'abord que je commence à parler de celui de $\mathbb C$

Personnellement j'ai une nette préférence pour la notation matricielle qui a l'avantage de donner un point de vue beaucoup plus géométrique.

Le problème des équations c'est qu'on ne peut pas "visualiser". Elle est où sur le graphe la solution imaginaire ? Et à moins de passer par un champ de vecteurs il n'y a pas vraiment moyen de s'en rendre compte.

Oui, je suis d'accord avec toi.. Le problème, c'est qu'elle est bcp plus lourde

Puis comme j't'ai dit, l'intro sur les équations, c'est juste pour introduire, j'explique juste qu'un ensemble doit parfosi être agrandit pour pouvoir solutionner des problèmes… Mais j'm'amuse pas avec Cardan pour l'expliquer x)

Je suis pas trop d'accord. Ce n'est pas tellement le besoin d'avoir une solution qui compte, mais d'avoir une bonne solution. Les nombres complexes ont ça de magique puisqu'ils forment un corps, alors que ce n'est pas du tout évident comme propriété.

Pour donner un contraste, parlons du logarithme. La version réelle est très bien, mais aucune version complexe n'est vraiment satisfaisante : on abandonne soit l'unicité soit la continuité. On peut donc solutionner un problème (antécédent de l'expo) mais on est très loin de la beauté des nombres complexes qui solutionnent, et le font bien.

Salut, pense a mettre a jour le lien du premier post quand tu mets a jour la beta, pour l'instant impossible de le lire.

@Looping Désolé, j'avais mis le tuto hors-ligne le temps de le recommencer

Voilà, maintenant qu'il est en ligne, pourrais-je avoir des avis sur l'intro ? (ne pas tenir compte du chapitre 2)

@Holosmos Oui, c'est ce que je voulais dire

Sur la première partie de l'intro :

• attention à la phrase "un ensemble comme étant un groupe" ce qui est un mauvais choix de mots … puisqu'un groupe est un cas particulier d'ensemble muni d'une loi de compo ;
• on dit "le corps des nombres complexes" puisque ce n'est pas le corps qui est "complexe" mais les nombres qui le constituent ;
• ce serait bien de définir la notion de "corps" puisque sinon, on sait pas ce que tu veux dire;
• il y a aussi quelques erreurs de typo : les ensembles $\mathbf{C}$ et $\mathbf{R}$ n'ont pas toujours la même écriture …

[Mise à Jour]

J'ai donc refais l'intro (chapitre 1.1, ne tjr pas tenir compte du 1.2) Et j'ai démontré matriciellement les propriétés de $\mathbb C$

J'attends vos avis