Erreurs dans le calcul des vecteurs propres ?

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Bonjour à tous,

Pour des raisons pédagogiques, je cherche à trouver les vecteurs propres de la matrice suivante

(0ttV),\begin{pmatrix}0&-t\\-t&V\end{pmatrix},

avec tt et VV des nombres positifs tout ce qu’il y a de plus réels (cherchez pas très loin, c’est une version adaptée du système à deux états en mécanique quantique).

Évidement, on commence par trouver les valeurs propres, simple, basique:

εttVε=0,\begin{vmatrix}-\varepsilon&-t\\-t&V-\varepsilon\end{vmatrix}=0,

ce que je me propose de "simplifier" en posant un changement de variable de la forme x=εtx=\frac{\varepsilon}{t} et q=Vtq=\frac{V}{t}, d’où

x11xq=0x2qx1=012(q±q2+4).\begin{vmatrix}x&1\\1&x-q\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow x^2-qx-1=0 \Leftrightarrow \frac {1}{2}\,(q\pm \sqrt{q^2+4}).

Jusque là, pas trop de problème. Si j’effectue mon changement de variable inverse, j’obtiens les mêmes solutions que Wolfram. Et en plus q2+4\sqrt{q^2+4} est positif et réel (en même temps, vu que la matrice est symétrique, les valeurs propres doivent être réelles).

Et puis ensuite, je veux trouver les vecteurs propres associés. Je prend x=12(q+q2+4)x=\frac {1}{2}\,(q+\sqrt{q^2+4}) (par exemple), et je me retrouve à devoir résoudre

(12(q+q2+4)1112(q+q2+4))(c1c2)=(00).\begin{pmatrix}\frac {1}{2}\,(q+\sqrt{q^2+4})&1\\1&\frac {1}{2}\,(-q+\sqrt{q^2+4})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.

Si je donne ça à un résolveur d’équation, encore une fois, pas de problème, il va me sortir de la solution est (à une constante α\alpha près),

(c1c2)=α(12(q+q2+4)1),\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}= \alpha\,\begin{pmatrix}\frac {1}{2}\,(q+\sqrt{q^2+4})\\1\end{pmatrix},

et encore une fois, c’est raccord avec l’ami Wolfram. Sauf qu’évidement, pédagogie oblige, pas de Wolfram, tout à la main. Et c’est qu’à mon avis, je fais une erreur. Je me dis "oh, posons u=q2+4u=\sqrt{q^2+4}, c’est chiant les racines, on retransformera à la fin".1 Et donc, je me retrouve donc à résoudre

(12(q+u)1112(uq))(c1c2)=(00),\begin{pmatrix}\frac {1}{2}\,(q+u)&1\\1&\frac {1}{2}\,(u-q)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},

ce qui est, à propri, le même système. Sauf que non, en fait:

{12(q+u)c1+c2=0c1+12(uq)c2=0{c1=2q+uc2c1=(uq)2c2\begin{cases}\frac {1}{2}\,(q+u)\,c_1 + c_2 = 0\\c_1 + \frac {1}{2}\,(u-q)\,c_2 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}c_1 = -\dfrac{2}{q+u}\,c_2\\c_1 = -\dfrac{(u-q)}{2}\,c_2\end{cases}

et là, si je ne dis pas de bêtises, la seule solution qui satisfasse mon système est c1=c2=0c_1=c_2=0.

Conclusion, je ne peux pas discrètement escamoter la racine dans une variable que je ressortirait plus tard. Mais la question, c’est … Pourquoi ? À priori, je ferais la même chose avec uu que je ne ferait avec q2+4\sqrt{q^2+4} ?!?

D’avance merci à celui qui s’aura m’expliquer ça ;)


  1. Puis je vous avoue que ça m’arrange, parce que après, je dois encore normer le vecteur et donc va falloir que je re-calcule des racines, tout ça.
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Je pense que 2q+u=uq2    4=(uq)(u+q)=u2q2    q=±u24=±q\frac 2{q+u} = \frac{u-q}2 \iff 4 = (u-q)(u+q) = u^2-q^2 \iff q = \pm \sqrt{u^2-4} = \pm q indique qu’il y a une infinité de solutions. En posant c2=1c_2=1 on devrait retrouver ta première paramétrisation

Salut,

Je pense que dans ta résolution, tu passes par un produit nul à un moment sans trop t’en rendre compte. C’est ce qui se passe en essayant par substitution. Avec la première égalité on obtient

c2=12(q+u)c1c_2 = -\frac{1}{2} (q+u) c_1

qu’on remplace dans la seconde égalité pour obtenir

c114(u+q)(uq)c1=0c_1 - \frac{1}{4}(u + q)(u - q)c_1 = 0

c’est-à-dire

c1(114(u2q2))=0.c_1\left(1 - \frac{1}{4}(u^2 - q^2)\right) = 0.

Et puisque u=q2+4u = \sqrt{q^2 + 4}, alors 114(u2q2)=01 - \frac{1}{4}(u^2 - q^2) = 0. On ne peut rien dire sur c1c_1 avec ça.

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Salut,

Cela dit, j’ai envie de dire que sortir Wolfram pour trouver un vecteur qui satisfait

(12(q+q2+4)1112(q+q2+4))(c1c2)=(00).\begin{pmatrix}\frac {1}{2}\,(q+\sqrt{q^2+4})&1\\1&\frac {1}{2}\,(-q+\sqrt{q^2+4})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.

C’est ultra-overkill. Tu cherches un vecteur propre, et il est immédiat par exemple que c20c_2\neq 0 (puisque sinon la seule solution est le vecteur nul qui ne nous intéresse pas). Poser c2=1c_2=1 (ou n’importe quelle valeur non nulle, mais 11 est simple) permet ensuite de conclure immédiatement (avec la ligne 2) que c1=12(qq2+4)c_1 = \frac 12(q-\sqrt{q^2+4}). Tu dois avoir une erreur de signe qui traîne quelque part. On peut même voir de tête que la première ligne est aussi vérifiée avec une identité remarquable simple.

EDIT : en y pensant d’un peu plus près, tu as même encore plus sioux. Comme le déterminant de la matrice est nul (sinon l’espace nul ne contient que le vecteur nul), tu sais que le produit des termes diagonaux est forcément 11 sans même faire le moindre calcul. En prenant c2=1c_2=1, la première ligne sera vérifiée avec c1c_1 comme opposé du terme 2,22,2 (et la deuxième est trivialement vérifiée aussi avec une telle construction). On peut faire le symétrique et prendre c1=1c_1=1 qui force c2c_2 comme opposé du terme 1,11,1.

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Bon, évidement, c’est un peu moins applicable pour une matrice 3x3, mais c’est sympa quand même :)

pierre_24

En fait, je pense qu’il est extrêmement important d’apprendre à faire ce genre de gymnastique sur des cas qui sont particuliers et simples. Notre cerveau est terriblement inefficace pour faire des calculs bêtement, i.e. pour appliquer des règles de calculs faciles à décrire et générales, mais fastidieuses à réaliser. Autant donc se former à être bon là où on peut l’être : voir des simplifications possibles pour faciliter des calculs. Il n’y a aucun intérêt à apprendre à chercher des vecteurs propres à la main sur des problèmes qui ne se réduisent pas facilement, une machine ira plus vite sans faire d’erreur. Par contre, sur un cas comme celui-là, c’est intéressant d’arriver au résultat plus vite qu’il n’en faut pour taper l’équation dans mathematica et avec un risque d’erreur extrêmement faible.

Une règle que je me donne souvent quand je conçois un TD, c’est que je dois être capable de faire les calculs de tête ou quasiment (au pire en deux/trois étapes qui ont en elle-mêmes un certain sens physique ou mathématique). Je ne demande pas à ce que les élèves sachent le faire eux-mêmes, mais ça m’assure que la complexité du calcul est faible (et que je peux vérifier leurs calculs en un coup d’oeil).

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