Erreurs dans le calcul des vecteurs propres ?

Bonjour à tous,

Pour des raisons pédagogiques, je cherche à trouver les vecteurs propres de la matrice suivante

$\begin{pmatrix}0&-t\\-t&V\end{pmatrix},$

avec $t$ et $V$ des nombres positifs tout ce qu’il y a de plus réels (cherchez pas très loin, c’est une version adaptée du système à deux états en mécanique quantique).

Évidement, on commence par trouver les valeurs propres, simple, basique:

$\begin{vmatrix}-\varepsilon&-t\\-t&V-\varepsilon\end{vmatrix}=0,$

ce que je me propose de "simplifier" en posant un changement de variable de la forme $x=\frac{\varepsilon}{t}$ et $q=\frac{V}{t}$, d’où

$\begin{vmatrix}x&1\\1&x-q\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow x^2-qx-1=0 \Leftrightarrow \frac {1}{2}\,(q\pm \sqrt{q^2+4}).$

Jusque là, pas trop de problème. Si j’effectue mon changement de variable inverse, j’obtiens les mêmes solutions que Wolfram. Et en plus $\sqrt{q^2+4}$ est positif et réel (en même temps, vu que la matrice est symétrique, les valeurs propres doivent être réelles).

Et puis ensuite, je veux trouver les vecteurs propres associés. Je prend $x=\frac {1}{2}\,(q+\sqrt{q^2+4})$ (par exemple), et je me retrouve à devoir résoudre

$\begin{pmatrix}\frac {1}{2}\,(q+\sqrt{q^2+4})&1\\1&\frac {1}{2}\,(-q+\sqrt{q^2+4})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$

Si je donne ça à un résolveur d’équation, encore une fois, pas de problème, il va me sortir de la solution est (à une constante $\alpha$ près),

$\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}= \alpha\,\begin{pmatrix}\frac {1}{2}\,(q+\sqrt{q^2+4})\\1\end{pmatrix},$

et encore une fois, c’est raccord avec l’ami Wolfram. Sauf qu’évidement, pédagogie oblige, pas de Wolfram, tout à la main. Et c’est qu’à mon avis, je fais une erreur. Je me dis "oh, posons $u=\sqrt{q^2+4}$, c’est chiant les racines, on retransformera à la fin".¹ Et donc, je me retrouve donc à résoudre

$\begin{pmatrix}\frac {1}{2}\,(q+u)&1\\1&\frac {1}{2}\,(u-q)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},$

ce qui est, à propri, le même système. Sauf que non, en fait:

$\begin{cases}\frac {1}{2}\,(q+u)\,c_1 + c_2 = 0\\c_1 + \frac {1}{2}\,(u-q)\,c_2 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}c_1 = -\dfrac{2}{q+u}\,c_2\\c_1 = -\dfrac{(u-q)}{2}\,c_2\end{cases}$

et là, si je ne dis pas de bêtises, la seule solution qui satisfasse mon système est $c_1=c_2=0$.

Conclusion, je ne peux pas discrètement escamoter la racine dans une variable que je ressortirait plus tard. Mais la question, c’est … Pourquoi ? À priori, je ferais la même chose avec $u$ que je ne ferait avec $\sqrt{q^2+4}$ ?!?

D’avance merci à celui qui s’aura m’expliquer ça

Merci à vous deux. Je conserverais donc la racine

C’est bô

Bon, évidement, c’est un peu moins applicable pour une matrice 3x3, mais c’est sympa quand même

Tu dois avoir une erreur de signe qui traîne quelque part.

En effet, erreur de recopiage

En fait, je pense qu’il est extrêmement important d’apprendre à faire ce genre de gymnastique sur des cas qui sont particuliers et simples. Notre cerveau est terriblement inefficace pour faire des calculs bêtement, i.e. pour appliquer des règles de calculs faciles à décrire et générales, mais fastidieuses à réaliser. Autant donc se former à être bon là où on peut l’être : voir des simplifications possibles pour faciliter des calculs. Il n’y a aucun intérêt à apprendre à chercher des vecteurs propres à la main sur des problèmes qui ne se réduisent pas facilement, une machine ira plus vite sans faire d’erreur. Par contre, sur un cas comme celui-là, c’est intéressant d’arriver au résultat plus vite qu’il n’en faut pour taper l’équation dans mathematica et avec un risque d’erreur extrêmement faible.

Une règle que je me donne souvent quand je conçois un TD, c’est que je dois être capable de faire les calculs de tête ou quasiment (au pire en deux/trois étapes qui ont en elle-mêmes un certain sens physique ou mathématique). Je ne demande pas à ce que les élèves sachent le faire eux-mêmes, mais ça m’assure que la complexité du calcul est faible (et que je peux vérifier leurs calculs en un coup d’oeil).