Intégrale de Lesbegue et probabilités

La densité, c’est une fonction qui permet de te donner la loi de la variable aléatoire au moyen d’une intégrale. Densité et loi ne sont donc pas la même chose. Si tu prends une fonction borélienne et positive $f \colon \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R$ de masse 1, alors une variable aléatoire $X \colon \Omega \to \mathbb R^n$ admet pour densité la fonction $f$ si $\mathbb P(X \in A) = \int_A f(x)\,\mathrm dx$ pour tout borélien $A$ de $\mathbb R^n$. Dans ce cas, la densité de $X$ est la fonction $f$. Ce qu’on appelle loi, c’est la mesure de probabilité $A \longmapsto \mathbb P(X \in A)$, qu’on note $\mathbb P_X$.

Dans ton exemple, la variable $X$ suit une loi normale centrée réduite, sa densité est la fonction $x \longmapsto (2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}$ et sa loi est bien donnée par $\mathbb P_X([a, b]) = \mathbb P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_a^b (2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}\,\mathrm dx, \quad a < b$ depuis que les boréliens de $\mathbb R$ sont engendrés par les segments $[a, b]$.

Hello,

Pour la première question je pense que ça vient du fait que l’intégrale d’une fonction escalier c’est une somme de rectangles de hauteurs $h_i$. On a alors : $\int f = \sum h_i (t_{i+1}-t_i)$, donc l’intégrale est calculée dans "l’ordre de la fonction". $h_i$ représente la valeur monétaire dans sa citation. Donc par exemple on peut avoir $h_1 = h_k$ pour $k > 1$ et donc on ne donne pas tous les billets de $h_1$ euros les un à la suite des autres, d’abord on donne $h_1$ puis $h_2$…

A l’inverse dans l’intégrale de Lesbegue on considère des fonctions étagées donc : $\int f = \sum \alpha_i \mu(A_i)$, ainsi on regroupe les billets de même valeurs dans la somme.

C’est une interprétation possible de la citation je ne sais pas si c’est ce qu’il voulait dire.

Avec l’indicatrice de $\mathbb{Q}$, on comprend assez bien l’idée. Avec l’intégrale de Lebesgue, on considère l’enseble des points d’image 1 d’un côté et ceux d’image nulle de l’autre (on donne mesure de $\mathbb{Q}$ billets de valeur 1 et mesure de $\mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}}$ billets de valeur 0). Avec Riemann, c’est plus compliqué, on peut regarder les sommes de Darboux, on ne peut pas intégrer