Intégrale de Lesbegue et probabilités

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Bonjour,

J’ai deux petites questions :)

  • Dans mon cours sur l’intégrale de Lesbegue il y a la citation suivante :

"Je dois payer une certaine somme ; je fouille dans mes poches et j’en sors des pièces et des billets de différentes valeurs. Je les verse à mon créancier dans l’ordre où elles se présentent jusqu’à atteindre le total de ma dette. C’est l’intégrale de Riemann. Mais je peux opérer autrement. Ayant sorti tout mon argent, je réunis les billets de même valeur, les pièces semblables, et j’effectue le paiement en donnant ensemble les signes monétaires de même valeur. C’est mon intégrale." - Lesbegue 1901

J’ai bien compris la construction de l’intégrale de Lesbegue mais je ne comprends pas l’analogie faite dans cette citation. Je comprends bien que les pièces et les billets sont les valeurs de ma fonction, mais je ne comprends pas ensuite l’analogie. Des idées ? :)

  • Dans mon cours sur l’intégrale de Lesbegue on parle de proba et on a la chose suivante : Soit XX une variable aléatoire réelle de loi : ex2/22π1dxe^{-x^2/2}\sqrt{ 2\pi }^{-1} \mathrm{d}x. Est ce que ça veut dire qu’on a :

$$ \mathbb{P}(x \leq X \leq y) = \int_xy e{-x2/2} \sqrt{2 \pi}{-1} \mathrm{d}x $$

Parce-que dans ce cas ça veut dire que XX est une variable aléatoire à densité ? Du coup c’est quoi la différence entre la loi et la densité ? Je sais qu’il existe certaines V.a qui ne sont pas à densité, mais du coup si on donne leur loi comme une fonction f:RRf:\mathbb{R} \to \mathbb{R} continue alors c’est une variable à densité non ?

Merci beaucoup !

EDIT : je ne comprends pas pourquoi ma formule LaTeX ne s’affiche pas… Voilà la formule : \mathbb{P}(x \leq X \leq y) = \int_x^y e^{-x^2/2} \sqrt{2 \pi}^{-1} \mathrm{d}x

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La densité, c’est une fonction qui permet de te donner la loi de la variable aléatoire au moyen d’une intégrale. Densité et loi ne sont donc pas la même chose. Si tu prends une fonction borélienne et positive f ⁣:RnRf \colon \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R de masse 1, alors une variable aléatoire X ⁣:ΩRnX \colon \Omega \to \mathbb R^n admet pour densité la fonction ff si P(XA)=Af(x)dx\mathbb P(X \in A) = \int_A f(x)\,\mathrm dx pour tout borélien AA de Rn\mathbb R^n. Dans ce cas, la densité de XX est la fonction ff. Ce qu’on appelle loi, c’est la mesure de probabilité AP(XA)A \longmapsto \mathbb P(X \in A), qu’on note PX\mathbb P_X.

Dans ton exemple, la variable XX suit une loi normale centrée réduite, sa densité est la fonction x(2π)1/2ex2/2x \longmapsto (2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2} et sa loi est bien donnée par PX([a,b])=P(aXb)=ab(2π)1/2ex2/2dx,a<b\mathbb P_X([a, b]) = \mathbb P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_a^b (2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}\,\mathrm dx, \quad a < b depuis que les boréliens de R\mathbb R sont engendrés par les segments [a,b][a, b].

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Hello,

Pour la première question je pense que ça vient du fait que l’intégrale d’une fonction escalier c’est une somme de rectangles de hauteurs hih_i. On a alors : f=hi(ti+1ti)\int f = \sum h_i (t_{i+1}-t_i), donc l’intégrale est calculée dans "l’ordre de la fonction". hih_i représente la valeur monétaire dans sa citation. Donc par exemple on peut avoir h1=hkh_1 = h_k pour k>1k > 1 et donc on ne donne pas tous les billets de h1h_1 euros les un à la suite des autres, d’abord on donne h1h_1 puis h2h_2

A l’inverse dans l’intégrale de Lesbegue on considère des fonctions étagées donc : f=αiμ(Ai)\int f = \sum \alpha_i \mu(A_i), ainsi on regroupe les billets de même valeurs dans la somme.

C’est une interprétation possible de la citation je ne sais pas si c’est ce qu’il voulait dire.

Avec l’indicatrice de Q\mathbb{Q}, on comprend assez bien l’idée. Avec l’intégrale de Lebesgue, on considère l’enseble des points d’image 1 d’un côté et ceux d’image nulle de l’autre (on donne mesure de Q\mathbb{Q} billets de valeur 1 et mesure de RQ\mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}} billets de valeur 0). Avec Riemann, c’est plus compliqué, on peut regarder les sommes de Darboux, on ne peut pas intégrer

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