Développement limité

Hey \o,

Mes cours de maths commencent à dater. Comment calculeriez vous le DL de :

$ln(1 + cos(x) + 3 sin(x))$

en $0$.

On doit forcément revenir à la définition ou on peut faire autre chose ?

Je trouve un truc comme $ln(2) + \frac{3x}{2} - \frac{11x^2}{8} + o(x^2)$ Mais ça m’a pris un temps fou à trouver.

Merci d’avance.

Salut,

C’est quoi ton objectif ? Apprendre à calculer des DL à la main, ou avoir le résultat ? Parce que si le résultat te suffit, le plus simple est d'utiliser un site comme Wolfram Alpha pour faire le calcul. Il trouve le même résultat que toi.

Sinon, j’ai pas trop réfléchis, mais il y a sûrement moyen de passer par la composition pour trouver une réponse. J’ai l’impression qu’on s’en sortirait avec un DL en 1 de $\ln(1 + x)$ et un DL en 0 de $\cos(x) + 3\sin(x)$.

Ah non c’est pour « apprendre » à le faire à la main.
Mais c’est déjà cool comme ça je vérifie. 👍

Je vais tenter un truc ce soir avec la composition.

Attention à faire attention que le développement de $\ln(1+x)$ en $x=0$ doit être… quand $x$ est proche de $0$ ! Or là, $\cos(x) + 3\sin(x)$ n’est pas proche de zéro quand $x$ est proche de $0$.

Solution (à l’ordre 2):

C’est pour ça qu'@Aabu dit de faire un DL en $x=1$ (qui est pas trop pénible à faire à la main), puis ensuite il suffit de composer comme le reste est usuel.

Ou utiliser la factorisation dans $\ln$ : $\ln(2 + Z) = \ln(2(1+Z/2)) = \ln(2) + \ln(1+Z/2)$, ça me paraît plus fiable quand on doute

Ouais, bien vu.

J’imagine que tu as utilisé la formule de Taylor ? J’essaye…

avec $a=0$

C’était rigolo :3

Ah non c’est pour « apprendre » à le faire à la main.

J’imagine que tu as utilisé la formule de Taylor ? J’essaye…

Taylor-Young oui. Je n’ai jamais compris à quoi servait Taylor-Lagrange et je n’ai jamais eu besoin des autres formules.

Ah ? Ben je faisais pas autant le malin moi. :’D

PS: $\LaTeX$ non plus d’ailleurs

xD Bah ça m’avais manqué de faire un peu de résolution mathématiques comme ça. Bon j’ai pas utilisé de méthodologie astucieuse comme l’as fais Holosmos. Je pense qu’il faut se débrouiller un peu si on veut être rapide, du coups j’me suis permis de tout détaillé de manière scolaire voir trop formelle. (j’suis l’genre à utiliser $\Delta = b^2 - 4ac$ pour calculer $x^2-1=0$…) Mais au moins les prochains visiteurs pourrons extrapoler la méthodologie à n’importe quel autre développement d’ordre deux.

J’avoue, mais la mise en forme est quand même bien élégante sur ZdS. Je ne suis pas aussi à l’aise sur les autres forums où l’on peut écrire des formules. Alors un ou deux dépassement ci et là ça va

xD Bah ça m’avais manqué de faire un peu de résolution mathématiques comme ça.

Je te comprend tout à fait.

Bon j’ai pas utilisé de méthodologie astucieuse comme l’as fais Holosmos. Je pense qu’il faut se débrouiller un peu si on veut être rapide, du coups j’me suis permis de tout détaillé de manière scolaire voir trop formelle.

Si tu le fais, mets bien en secret, je compte le faire aussi !

Certes.

Généralement calculer les dérivées pour calculer un DL est une perte monstrueuse de temps. En connaissant une liste minime d’exemples, les règles sur les opérations permettent d’aller très vite sans effort

« sans effort »

Parle pour toi oui ! xD

J’ai détaillé le calcul dans mon premier post. Oui, le calcul est sans effort … une fois qu’on a conscience de ce qu’on fait. La difficulté des DL c’est pas le calcul, c’est comprendre qu’on manipule finement des approximations.

Les DL, c’est formellement un morphisme d’algèbres entre les fonctions lisses et les polynômes, de plus compatible avec la composition. En d’autres termes, y a pas plus « gentil » comme correspondance entre fonctions et polynômes. En plus les « petites briques » que sont les DL des fonctions usuelles ne sont pas si difficile à retenir.