Développement limité

De ln(1 + cos x + 3 sin x)

a marqué ce sujet comme résolu.

Hey \o,

Mes cours de maths commencent à dater. Comment calculeriez vous le DL de :

ln(1+cos(x)+3sin(x))ln(1 + cos(x) + 3 sin(x))

en 00.

On doit forcément revenir à la définition ou on peut faire autre chose ?

Je trouve un truc comme ln(2)+3x211x28+o(x2)ln(2) + \frac{3x}{2} - \frac{11x^2}{8} + o(x^2) Mais ça m’a pris un temps fou à trouver.

Merci d’avance.

+1 -0

Salut,

C’est quoi ton objectif ? Apprendre à calculer des DL à la main, ou avoir le résultat ? Parce que si le résultat te suffit, le plus simple est d'utiliser un site comme Wolfram Alpha pour faire le calcul. Il trouve le même résultat que toi.

Sinon, j’ai pas trop réfléchis, mais il y a sûrement moyen de passer par la composition pour trouver une réponse. J’ai l’impression qu’on s’en sortirait avec un DL en 1 de ln(1+x)\ln(1 + x) et un DL en 0 de cos(x)+3sin(x)\cos(x) + 3\sin(x).

Ah non c’est pour « apprendre » à le faire à la main.
Mais c’est déjà cool comme ça je vérifie. 👍

Je vais tenter un truc ce soir avec la composition.

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Attention à faire attention que le développement de ln(1+x)\ln(1+x) en x=0x=0 doit être… quand xx est proche de 00 ! Or là, cos(x)+3sin(x)\cos(x) + 3\sin(x) n’est pas proche de zéro quand xx est proche de 00.

Solution (à l’ordre 2):

ln(1+cos(x)+3sin(x))=ln(1+(1x2/2)+3(x))=ln(2+3xx2/2)=ln(2(1+3x2x24))=ln(2)+ln(1+3x2x24)=ln(2)+3x2x24(3x2x24)22=ln(2)+3x2x249x242=ln(2)+3x211x28\begin{aligned} \ln(1+\cos(x)+3\sin(x)) &= \ln(1 + (1-x^2/2) + 3(x)) \\ &= \ln(2 + 3x - x^2/2) \\ &= \ln(2 \cdot(1 + \frac{3x}2 - \frac{x^2}4)) \\ &= \ln(2) + \ln(1+\frac{3x}2 - \frac{x^2}4) \\ &= \ln(2) + \frac{3x}2 - \frac{x^2}4 - \frac{\left(\frac{3x}2 - \frac{x^2}4\right)^2}{2} \\ &= \ln(2) + \frac{3x}2 - \frac{x^2}4 - \frac{\frac{9x^2}4}2 \\ &= \ln(2) + \frac{3x}2 - \frac{11x^2}{8}\end{aligned}

Attention à faire attention que le développement de ln(1+x)\ln(1+x) en x=0x=0 doit être… quand xx est proche de 00 ! Or là, cos(x)+3sin(x)\cos(x) + 3\sin(x) n’est pas proche de zéro quand xx est proche de 00.

Holosmos

C’est pour ça qu'@Aabu dit de faire un DL en x=1x=1 (qui est pas trop pénible à faire à la main), puis ensuite il suffit de composer comme le reste est usuel.

+0 -0

J’imagine que tu as utilisé la formule de Taylor ? J’essaye…

f(x)=f(a)+11!df(a)dx(xa)+12!d2f(a)dx2(xa)2+(xa)o(x)f(x) = f(a)+\frac{1}{1!} \cdot \frac{df(a)}{dx}(x-a)+\frac{1}{2!} \cdot \frac{d^2f(a)}{dx^2}(x-a)^2+(x-a)o(x)

avec a=0a=0

f(x)=ln(1+cosx+3sinx)f(0)+df(0)dxx+12d2f(0)dx2x2f(x) = \ln{\left( 1+\cos{x}+3\sin{x} \right) } \approx f(0)+ \frac{df(0)}{dx}\cdot x+\frac{1}{2} \cdot \frac{d^2f(0)}{dx^2}\cdot x^2
ln(1+cosx+3sinx)ln(1+cos01+3sin00)+df(0)dxx+12d2f(0)dx2x2\ln{\left( 1+\cos{x}+3\sin{x} \right) } \approx ln(1+ \underbrace{\cos{0}}_1 + 3 \underbrace{\sin{0}}_0)+ \frac{df(0)}{dx}\cdot x+\frac{1}{2} \cdot \frac{d^2f(0)}{dx^2}\cdot x^2
ln(1+cosx+3sinx)ln(2)+df(0)dxx+12d2f(0)dx2x2\ln{\left( 1+\cos{x}+3\sin{x} \right) } \approx ln(2)+ \frac{df(0)}{dx}\cdot x+\frac{1}{2} \cdot \frac{d^2f(0)}{dx^2}\cdot x^2
Dérivée première
df(x)dx=dln(u(x))dx=u(x)u(x)=1u(x)du(x)dx=11+cosx+3sinxddx(1+cosx+3sinx)\frac{df(x)}{dx} = \frac{d\ln{(u(x))}}{dx} = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{1}{u(x)} \cdot \frac{du(x)}{dx} = \frac{1}{1+\cos{x}+3\sin{x}} \cdot \frac{d}{dx} \left( 1+\cos{x}+3\sin{x} \right)
df(x)dx=11+cosx+3sinx(ddx(cosx)+ddx(3sinx))\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{1+\cos{x}+3\sin{x}} \cdot \left(\frac{d}{dx} \left(\cos{x}\right) + \frac{d}{dx} \left(3\sin{x}\right)\right)
df(x)dx=11+cosx+3sinx(sinx+3cosx)\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{1+\cos{x}+3\sin{x}} \cdot \left(-\sin{x} + 3\cos{x}\right)
ln(1+cosx+3sinx)ln(2)+3cos0sin01+cos0+3sin0x+12d2f(0)dx2x2\ln{\left( 1+\cos{x}+3\sin{x} \right) } \approx ln(2)+ \frac{ 3\cos{0}-\sin{0} }{1+\cos{0}+3\sin{0}}\cdot x+\frac{1}{2} \cdot \frac{d^2f(0)}{dx^2}\cdot x^2
ln(1+cosx+3sinx)ln(2)+32x+12d2f(0)dx2x2\ln{\left( 1+\cos{x}+3\sin{x} \right) } \approx ln(2)+ \frac{3}{2}\cdot x+\frac{1}{2} \cdot \frac{d^2f(0)}{dx^2}\cdot x^2
Dérivée seconde
d2f(x)dx2=ddx(u(x)v(x))=u(x)v(x)v(x)u(x)v2(x)\frac{d^2f(x)}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{v^2(x)}
u(x)=ddx(3cosxsinx)=3sinxcos(x)u'(x) = \frac{d}{dx} \left( 3\cos{x}-\sin{x} \right) = -3\sin{x} - \cos(x)
v(x)=ddx(1+cosx+3sinx)=sinx+3cos(x)v'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1+\cos{x}+3\sin{x} \right) = -\sin{x} + 3\cos(x)
d2f(x)dx2=ddx(3cosxsinx1+cosx+3sinx)=(3sinxcos(x))(1+cosx+3sinx)(sinx+3cos(x))(3cosxsinx)(1+cosx+3sinx)2\frac{d^2f(x)}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{ 3\cos{x}-\sin{x} }{1+\cos{x}+3\sin{x}} \right) = \frac{(-3\sin{x} - \cos(x))(1+\cos{x}+3\sin{x})-(-\sin{x} + 3\cos(x))(3\cos{x}-\sin{x})}{(1+\cos{x}+3\sin{x})^2}
ln(1+cosx+3sinx)ln(2)+32x+12(3sin0cos(0))(1+cos0+3sin0)(sin0+3cos(0))(3cos0sin0)(1+cos0+3sin0)2x2\ln{\left( 1+\cos{x}+3\sin{x} \right) } \approx ln(2)+ \frac{3}{2}\cdot x+\frac{1}{2} \cdot \frac{(-3\sin{0} - \cos(0))(1+\cos{0}+3\sin{0})-(-\sin{0} + 3\cos(0))(3\cos{0}-\sin{0})}{(1+\cos{0}+3\sin{0})^2} \cdot x^2
ln(1+cosx+3sinx)ln(2)+32x118x2\ln{\left( 1+\cos{x}+3\sin{x} \right) } \approx ln(2)+ \frac{3}{2} x- \frac{11}{8} x^2

C’était rigolo :3

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Ah non c’est pour « apprendre » à le faire à la main.

J’imagine que tu as utilisé la formule de Taylor ? J’essaye…

Taylor-Young oui. Je n’ai jamais compris à quoi servait Taylor-Lagrange et je n’ai jamais eu besoin des autres formules.

C’était rigolo :3

Blackline

Ah ? Ben je faisais pas autant le malin moi. :’D

PS: LaTeX\LaTeX non plus d’ailleurs 😂

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Ah ? Ben je faisais pas autant le malin moi. :’D

ache

xD Bah ça m’avais manqué de faire un peu de résolution mathématiques comme ça. Bon j’ai pas utilisé de méthodologie astucieuse comme l’as fais Holosmos. Je pense qu’il faut se débrouiller un peu si on veut être rapide, du coups j’me suis permis de tout détaillé de manière scolaire voir trop formelle. (j’suis l’genre à utiliser Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac pour calculer x21=0x^2-1=0…) Mais au moins les prochains visiteurs pourrons extrapoler la méthodologie à n’importe quel autre développement d’ordre deux.

PS: LaTeX\LaTeX non plus d’ailleurs 😂

ache

J’avoue, mais la mise en forme est quand même bien élégante sur ZdS. Je ne suis pas aussi à l’aise sur les autres forums où l’on peut écrire des formules. Alors un ou deux dépassement ci et là :p ça va

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xD Bah ça m’avais manqué de faire un peu de résolution mathématiques comme ça.

Je te comprend tout à fait. ^^

Bon j’ai pas utilisé de méthodologie astucieuse comme l’as fais Holosmos. Je pense qu’il faut se débrouiller un peu si on veut être rapide, du coups j’me suis permis de tout détaillé de manière scolaire voir trop formelle.

Si tu le fais, mets bien en secret, je compte le faire aussi ! :)

J’avoue, mais la mise en forme est quand même bien élégante sur ZdS. Je ne suis pas aussi à l’aise sur les autres forums où l’on peut écrire des formules. Alors un ou deux dépassement ci et là :p ça va

Blackline

Certes. ^^

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J’ai détaillé le calcul dans mon premier post. Oui, le calcul est sans effort … une fois qu’on a conscience de ce qu’on fait. La difficulté des DL c’est pas le calcul, c’est comprendre qu’on manipule finement des approximations.

Les DL, c’est formellement un morphisme d’algèbres entre les fonctions lisses et les polynômes, de plus compatible avec la composition. En d’autres termes, y a pas plus « gentil » comme correspondance entre fonctions et polynômes. En plus les « petites briques » que sont les DL des fonctions usuelles ne sont pas si difficile à retenir.

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