Les limites à l'aune du formalisme mathématique

a marqué ce sujet comme résolu.

Tout le monde se secoue ! :D

J’ai commencé (jeudi 19 mars 2020 à 20h36) la rédaction d’un tutoriel au doux nom de « Les limites à l’aune du formalisme mathématique » et j’ai pour objectif de proposer en validation un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans limites pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à l’adresse suivante :

Merci !


Bonjour ! Avec @gcodeur on a commencé un tuto sur la notion de limite en mathématiques. L’objectif est de proposer de découvrir les bases du formalisme mathématique à travers la notion de limite : ainsi, les lecteurs pourront découvrir l’un, ou l’autre, ou les deux, en fonction de leurs besoins.

L’idée est de combler le manque de cours gratuits et accessibles en mathématiques sur internet actuellement. Nous avions initialement commencé un moyen-tuto sur les dérivées, et ayant besoin de la limite en pré-requis, nous avons écrit ce tuto là, car ça commençait à prendre un peu trop de place dans le tuto initial. Cet autre tuto n’arrivera en bêta que plus tard.

C’est encore un premier jet, donc nous sommes ouverts à toutes remarques sur l’accessibilité du contenu bien sûr, mais aussi sa justesse et sa rigueur (personne n’est parfait).

Merci !

+5 -0

Cool ! Petite remarque :

On remarque que dans un voisinage, la fonction est bornée, dans le sens qu’on peut lui trouver localement un minimum et un maximum (que seraient les bornes du voisinage). Cette remarque peut sembler évidente, mais elle resservira plus bas dans une démonstration.

Il faudrait reformuler à mon avis (c’est quoi ces histoires de maximum/minimum ?). Je pense que vous voulez dire "si ff a une limite (finie) en aa, alors il existe un voisinage de aa tel que ff est bornée sur ce voisinage". Et quand vous utilisez la remarque plus bas dans la preuve de la continuité du produit, ça me paraît pas très clair non plus (de manière générale, le dernier paragraphe de la preuve est assez laconique par rapport au reste).

Salut,

Je pense que vous devriez faire des démonstrations sur des exemples pour aider à la manipulation des voisinages dans le contexte des limites. Surtout pour démystifier un peu le côté formel, qui est bien présent dans les démos des opérations.

Pour y aller progressivement, vous pourriez démontrer des limites avec la définition pour la fonction inverse. Ça permet de manipuler les quantificateurs dans une démo, avant de se prendre les démo plus abstraites de la fin dans la tête. Ce n’est pas forcément naturel de "prendre une valeur quelconque de l’ensemble" pour prouver un "pour tout", et ce n’est pas non plus forcément naturel pour le lecteur de prouver un "il existe" en mettant en évidence un objet défini avec les données à disposition.

Par exemple, pour prouver

limx+1/x=0,\lim_{x \rightarrow + \infty} 1/x = 0,

on prend un voisinage de la limite quelconque [a,b][a, b]. On la chance que ce soit inversible, donc ça aide à penser que [1/b,+[[1/b , +\infty[ est un bon candidat pour le voisinage de ++\infty qui va bien dont on doit prouver l’existence. Intuitivement, quand on resserre autour de 0, on voit qu’il faut partir vers la droite pour que l’image soit dans l’intervalle. C’est ce qu’il se passe : plus b est petit, plus 1/b est grand et donc l’intervalle s’enfuit vers l’infini. Il faut encore le prouver, la clé étant que x1/b    f(x)bx \geq 1/ b \implies f(x) \leq b. Il faut rédiger mieux que moi évidemment pour que ça soit propre.

Je me souviens que c’était vraiment ce qui m’avait aidé quand j’ai appris la définition formelle des limites. Et expliciter les techniques de démonstration m’a ouvert les yeux aussi dans le supérieur.

Édit. : C’est vrai que le titre est pas clair du tout. Il faudrait un titre plus normal, et même en sous-titre, si vous pouvez caser l’idée d’aller de l’intuition vers le formalisme, ça serait chouette.

+3 -0

Hey ! de la part d’un nul en math, j’adore la proposition, ça risque de beaucoup m’aider. (d’ailleurs ton moyen tuto sur les dérivées ça m’interesse grave aussi si un jour tu continue)

Merci pour ton travail et bon courage pour la rédaction !

J’ai parcouru rapidement, il faudrait que je le lise pour de vrai bientôt

Quelques remarques en vrac :

  • les lim sup et inf viennent un peu rapidement je trouve ;
  • je ne sais pas si le langage des voisinages est très adapté en première approche …
  • attention à bien faire la distinction que limf\lim f est déjà un nombre réel que l’on peut chercher à calculer sa valeur, mais cela suppose déjà son existence…!
  • plus d’exemples avant le formalisme?

J’ai médité cette nuit et aujourd’hui autour de la notion de limite telle qu’on l’utilise au début de formation scientifique. En fait, je me rends compte que c’est absolument pas intuitif d’avoir un formalisme où l’on quantifie d’abord sur ll puis sur xx pour dire que f(x)f(x) tend vers ll. En effet, la continuité telle qu’on la pense naïvement consiste à dire que pour une petite variation de xx, f(x)f(x) varie peu. Et, essentiellement, la continuité en un point aa, c’est par définition la limite de f(x)f(x) comparée à f(a)f(a).

Dans le tuto il est écrit :

Ça revient à dire que f(x) peut être rendue aussi proche de ℓ que l’on veut, tant que x est suffisamment proche de a. Autrement dit, la distance entre f(x) et ℓ peut être aussi petite que l’on veut tant que celle entre x et a l’est aussi.

Et cela n’est pas exactement ce qui est dit par le formalisme. Le formalisme dit que lorsque f(x)$ est proche de ll alors x est proche de aa. Ce n’est pas du tout pareil que dire que l’on peut rendre f(x)f(x) aussi proche de ll que désiré.

Mais cela est du au phénomène suivant : la notion de limite (et continuité plus généralement) est une notion locale, c’est-à-dire qui passe à l’intersection par des ouverts. Donc quand on prend un voisinage de ll, disons VV, et qu’on passe à l’image réciproque f1(V)=Uf^{-1}(V)=U, on peut se permettre de ne penser UU qu’au voisinage de aa, quitte à intersecter avec un ouvert en aa.

C’est cette manipulation qui donne le sens au formalisme, et pas le contraire. Parce qu’à priori, U=f1(V)U=f^{-1}(V) peut être un machin beaucoup plus étendu qu’un truc proche de aa.

Et c’est effectivement cette manipulation que l’on fait quand on change de formalisme entre :

  • pour tout VV voisinage de ll alors f1(V)f^{-1}(V) est voisinage de aa ;
  • pour tout ϵ>0\epsilon>0, il existe δ>0\delta>0 tel que xa<δ|x-a|<\delta implique f(x)l<ϵ|f(x)-l|<\epsilon ;

car en effet, dans la deuxième propriété, on a exactement pris l’intersection de f1(V)f^{-1}(V) avec la boule ouverte centrée en aa de rayon suffisamment petit δ\delta.


TLDR Tout ça pour dire que :

  • la notion de limite est très subtile à formaliser, du moins tel qu’on le fait usuellement ;
  • il faut faire très attention à la différence entre pratique et formalisme. Car en pratique, on ne fait jamais le calcul de f1(V)f^{-1}(V). On fait toujours un calcul avec un VV complètement libre, (soit ϵ>0\epsilon>0 blabla) qu’on se permet de choisir à la fin aussi petit que nécessaire.

edit: j’en profite pour relever :

On remarque que dans un voisinage, la fonction est bornée, dans le sens qu’on peut lui trouver localement un minimum et un maximum (que seraient les bornes du voisinage). Cette remarque peut sembler évidente, mais elle resservira plus bas dans une démonstration.

Attention à ne pas confondre max/min qui sont des sup/inf atteints. La citation n’est donc pas vraie pour des voisinage ouverts, mais vrai pour des voisinage compacts.

De la part d'@Amaury et moi-même, merci à tous pour vos retours ! Nous en avons discuté et les prenons en compte.

Ce message a été co-rédigé.

Il faudrait reformuler à mon avis (c’est quoi ces histoires de maximum/minimum ?). Je pense que vous voulez dire "si ff a une limite (finie) en aa, alors il existe un voisinage de aa tel que ff est bornée sur ce voisinage". Et quand vous utilisez la remarque plus bas dans la preuve de la continuité du produit, ça me paraît pas très clair non plus (de manière générale, le dernier paragraphe de la preuve est assez laconique par rapport au reste).

— Lucas-84

Effectivement — nous en avions d’ailleurs douté du dernier paragraphe de la preuve lors de l’écriture, qui pose un délicat problème d’ordre de présentation des choses, car on y utilise implicitement le théorème de comparaison, certes simple à comprendre, mais jamais justifié à ce moment là…

Nous allons retravailler cette partie.

Je pense que vous devriez faire des démonstrations sur des exemples pour aider à la manipulation des voisinages dans le contexte des limites. Surtout pour démystifier un peu le côté formel, qui est bien présent dans les démos des opérations.

Pour y aller progressivement, vous pourriez démontrer des limites avec la définition pour la fonction inverse. Ça permet de manipuler les quantificateurs dans une démo, avant de se prendre les démo plus abstraites de la fin dans la tête.

— Aabu

C’est une très bonne idée ! En en rediscutant, on s’est bien rendus compte que ce qui fait le succès de pas mal de tutos d’info, c’est cette alternance entre la théorie et la pratique ; or, on peine à le faire efficacement ici : on a certes une partie initiatrice qui rentre doucement dans le problème, mais dés qu’on attaque la partie plus théorique, on est rapidement que dans cette théorie en oubliant un peu de retourner de temps en temps à la pratique. On va faire un peu plus attention à ça, essayer de faire des allers-retours entre les deux, etc.

Notre objectif c’est vraiment d’être agréable et simple à lire, en reprenant le principe pédagogique des vénérables mais très accessibles tutos d’info.

Ce n’est pas forcément naturel de "prendre une valeur quelconque de l’ensemble" pour prouver un "pour tout", et ce n’est pas non plus forcément naturel pour le lecteur de prouver un "il existe" en mettant en évidence un objet défini avec les données à disposition.

— Aabu

C’est vrai, on devrait expliciter cette remarque. En soit ce n’est même pas si compliqué à appréhender, mais sans aucune explication c’est un peu dru :) .

Par-contre, je comprend pas le titre du tutoriel. Édit. : C’est vrai que le titre est pas clair du tout. Il faudrait un titre plus normal, et même en sous-titre, si vous pouvez caser l’idée d’aller de l’intuition vers le formalisme, ça serait chouette.

— Aabu & ache

Oui, et même si la partie “qui connaît” de nous-mêmes aime bien ce titre, il n’est pas très aguicheur ni compréhensible pour quelqu’un qui ne connaît pas le sujet. Ça fait un peu trop titre de thèse :p . On va essayer de trouver un meilleur titre, peut-être plus dans l’esprit « comment le formalisme permet de travailler avec la notion de limite », ou un titre plus ludique si on en trouve un ; tout en gardant le titre actuel (ou son esprit) en sous-titre, d’une façon ou d’une autre.

  • les lim sup et inf viennent un peu rapidement je trouve ;
— Holosmos

Tant que ça dans la partie « intuitive » ? Cela dit, c’est vrai qu’on ne revient pas du tout dessus dans la partie « formelle » et qu’on se prive ainsi de donner un bon exemple d’inexistence de la limite. On va retravailler ça !

je ne sais pas si le langage des voisinages est très adapté en première approche

— Holosmos

Introduire efficacement la définition d’une limite nous a semblé difficile dans tous les cas. Néanmoins, le voisinage a l’avantage d’être défini tant autour des réels qu’en ±\pm\infty, donc ça nous a paru plutôt efficace pour avoir une définition « universelle » de la limite sans une multitude de cas « imbuvables ».

De plus, on ne trouve pas que ce soit un concept si difficile que ça à appréhender : l’idée d’une sorte de bulle autour d’un point est assez simple (et bien sûr on la précise afin de rendre tout ça mathématiquement juste).

  • attention à bien faire la distinction que limf\lim f est déjà un nombre réel que l’on peut chercher à calculer sa valeur, mais cela suppose déjà son existence…!
— Holosmos

C’est très juste. Nous avons utilisé alternativement la notation avec limlim et celle avec \to et allons essayer de privilégier celle avec \to, en expliquant bien que la notation limlim sous-entend l’existence de la limite ! C’était sans doute un peu rapide d’affirmer que ces deux notations sont équivalentes.

J’ai médité cette nuit et aujourd’hui autour de la notion de limite telle qu’on l’utilise au début de formation scientifique. En fait, je me rends compte que c’est absolument pas intuitif d’avoir un formalisme où l’on quantifie d’abord sur \ell puis sur xx pour dire que f(x)f(x) tend vers \ell. En effet, la continuité telle qu’on la pense naïvement consiste à dire que pour une petite variation de xx, f(x)f(x) varie peu. Et, essentiellement, la continuité en un point aa, c’est par définition la limite de f(x)f(x) comparée à f(a)f(a).

— Holosmos

Nous ne sommes pas bien sûr de comprendre où tu veux en venir, @Holosmos, car nous ne sommes, mine de rien, pas spécialistes à ce niveau : on a une formation correcte en maths et on connaît bien le programme du lycée (et plus), mais on est moins à l’aise avec ce formalisme là.

Et cela n’est pas exactement ce qui est dit par le formalisme. Le formalisme dit que lorsque f(x)$ est proche de ll alors x est proche de aa. Ce n’est pas du tout pareil que dire que l’on peut rendre f(x)f(x) aussi proche de ll que désiré.

En lisant la définition, nous n’avions pas vraiment cette impression — si possible, pourrais-tu détailler ? On entend bien que la notion de limite/continuité est locale, mais nous nous perdons un peu dans ce que tu ajoutes ensuite. Et de même quand tu dis que c’est cette manipulation qui donne son sens au formalisme — pourquoi ?

En fait, on se retrouve beaucoup plus avec ce que tu dis à la fin : « on fait toujours un calcul avec un V complètement libre, (soit ε>0\varepsilon > 0 blabla) qu’on se permet de choisir à la fin aussi petit que nécessaire ». Il va falloir que nous re-lisions et que nous creusions un peu plus pour bien être au point là dessus… Y’a pas à dire, écrire des cours c’est formateur !

Attention à ne pas confondre max/min qui sont des sup/inf atteints

— Holosmos

Oups, bien vu, on voulait plutôt parler de majorant/minorant ! ;)

Je n’avais jamais pensé à ce qu’a expliqué @Holosmos. J’ai l’impression que j’ai assimilé là notion intuitive et formelle séparément, en faisant l’hypothèse qu’elles étaient suffisamment pareilles.

Je vais essayer de reformuler ce que j’ai compris (corrige-moi si c’est pas ce que tu voulais dire, @Holosmos).

La notion intuitive et les notations disent qu’en rapprochant x de a, on rapprochera alors f(x) de l, avec l’idée que si on n’est pas assez proche de l, il suffirait de ses rapprocher plus de x pour y remédier.

La notion formelle dit que si on est proche de l, on trouvera des x proches de a qui permettent à l’image d’être elle-même proche de l.

La philosophie est un peu différente :

  • intuitivement, on se met proche de x et on voit que f(x) est proche de l ;
  • formellement, on se met proche de l, et on regarde combien il faut être proche de a pour que f(x) soit proche de l également.

J’ai l’impression que les deux notions se ressemblent (viser précisément pour atteindre une cible vs déterminer la précision nécessaire pour atteindre une cible). Il y a des subtilités qui m’échappent complètement, je crois.

Quoi qu’il en soit, pédagogiquement, ça vaut peut-être le coup de mentionner cet aspect remarquable de la définition et passer sur les raisons profondes qui pourraient être source de confusion pour les lecteurs et lectrices moins aguerries.

Ce que je pensais est assez proche de ce qu’a dit Aabu.

Les deux façons d’interpréter la limite :

  • quand xx est proche de aa alors f(x)f(x) est proche de ll,
  • quand f(x)f(x) est proche de ll alors xx est dans un voisinage voisinage de aa;

sont différentes. Elles sont mathématiquement équivalentes (c’est pas difficile de s’en convaincre) mais il n’empêche que ce sont deux interprétations différentes. Et je trouve que ça soulève une vraie difficulté quand on apprend ce que sont les limites la première fois

En plus, en pratique on fait différemment ! Donc il faut vraiment y aller doucement et expliquer comment on passe d’une interprétation à l’autre

En lisant la définition, nous n’avions pas vraiment cette impression — si possible, pourrais-tu détailler ? On entend bien que la notion de limite/continuité est locale, mais nous nous perdons un peu dans ce que tu ajoutes ensuite. Et de même quand tu dis que c’est cette manipulation qui donne son sens au formalisme — pourquoi ?

Un voisinage de aa n’est pas forcément une boule ouverte en aa. Ça peut très bien être un truc super moche du genre {0}[1,2]]a1,a+1[{5}\{0\}\cup [1,2]\cup ]a-1, a+1[ \cup \{5\}. Donc potentiellement, on peut être en train de dire que xx est égal à 55 quand f(x)f(x) est proche de ll (après tout, pourquoi pas!).

Ce qui fait que ça reste équivalent à la première définition, c’est qu’on peut réduire le voisinage autour de aa. C’est ça qui donne un phénomène local.

Au passage, je dois donc vous relever que :

Un voisinage d’un nombre réel est un intervalle ouvert qui contient ce nombre.

est faux. Un voisinage de aa est un ensemble qui contient un ouvert qui contient aa. Donc ça doit contenir un intervalle ouvert qui contient aa, mais peut être beaucoup plus gros et compliqué.

Je crois qu’on peut prendre un point de vue de ce genre. On veut savoir si la fonction tend vers ll en xx et tout ce qu’on a c’est un truc pour zoomer sur l’axe des antécédents et un truc pour zoomer si l’axe des images. ff tend vers llen xx si peu importe à quel point on zoome sur l’axe des images, on peut trouver une fenêtre sur l’axe des antécédents (un zoom sur l’axe correspondant) où ff ne « déborde » pas.

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Pour le moment on n’a pas encore repris le travail sur ce contenu. On va probablement en discuter demain, donc on va y réfléchir entre nous ! Merci pour la proposition :)

On va déjà étudier toutes vos réponses. On met juste du temps à répondre car il faut qu’on s’accorde, qu’on prenne du temps ensemble, etc.

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